【Python、数学】计算任意位数的圆周率π（马青公式）

1. 公式准备

计算准确圆周率的马青公式：

 

对反正切进行级数展开：

就可以得到

π = 16(1/5 - 1/3/5^3 + 1/5/5^5 - ...) - 4(1/239 - 1/3/239^3 + 1/5/239^5 - ...)

π = (16/5 - 4/239) + (- 16/5^3/3 + 4/239^3/3) + (16/5^5/5 - 4/239^5/5) + ...

2. 用 Python 实现

π 的公式已经拿到，我们有一个明确的想要精确的π的位数，那么当式子中n越大的时候，第n项就会越小，小到计算这个精确目标时可以忽略的地步。

注意1：由于程序中浮点数的有效位数有限（小数点后很长的话会被省略，很大的数如果是小数也会用科学技术法），会损失很大精度，所以用整数来计算π。

比如想计算小数点后 7 位，就计算 π * 10^7 是多少，返回 31415926。

比如想计算小数点后 3 位，程序就会给你返回整数 3141，是扩大了 10^3 的结果。

注意2:  想用整数计算 π，那除法的时候就要使用取模运算来保证结果也是整数，以达到保证精度的目的。

注意3: 我用取模操作代替了除法，但是取模对于除法来说本身就是有精度损失的，为了弥补这部分精度，我采取的方案是，先把想精确的位数增加 k，最后把结果减少 k 位。

注意4: 从这句话以后的 n，不再指代上面求 π 的数学公式中的 n，而代表输入的想要精确 π 的位数。

可以预见，注意3中提出的这个方案是有漏洞的，因为 k 是被固定在程序中的，随着用户输入 n 的增大，越来越大量的取模运算损失的精度，必定是固定不变的 k 值所不能弥补的。所以对每一个固定的 k，一定会有一个 n 值，使得本程序所计算的结果是错误的。

对此，我还有一个方案，k 值不固定，由 n 计算得出，n 越大就取越大的 k。但我不想随便定一个 k 与 n 的关系，当然通过代码可以试出一个不错的，但程序计算总有尽头，没有理论支持就无法证明这个关系是真正合理的。

def pi(n):
    p = 10 ** (n + 10)  # 准备初始整数，先多乘 k 个 0，以增加精度，最后再去掉，这里我取 k=10
    a = p * 16 // 5     # 第一项的前半部分
    b = p * 4 // -239   # 第一项的后半部分
    f = a + b           # 第一项的值
    p = f               # π
    j = 3              
    while abs(f):       # 当|f|=0后计算π的值就不会再改变了
        a //= -25       # 第n项的前半部分
        b //= -57121    # 第n项的后半部分
        f = (a + b) // j
        p += f
        j += 2
    return p // 10**10  # 去掉 k 位，k=10

我还专门写了验证程序来验证取不同 k 时到底 n 为多大计算结果开始不准确。

经过验证，当 k 分别取 1 到 9 时，输入 n 的值为 8, 31, 158, 306, 359, 4254, 13389, 17533, 17533 （对，8和9是一样的）时，计算结果开始出现误差。当 k 取 10 时，n 取 100000 还都没有出现误差。

上面代码计算的十万位

2007年红天蝎圆周率计算分析系统计算的圆周率10万位

查询数字在圆周率中的位置（前10亿位）