数学物理方法 10 格林函数法

第十章格林函数法 

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 行波法:无界空间波动问题,有局限性分离变量法:各种有界问题,其解为无穷级数积分变换法:各种无界问题,其解为无限积分  
1.格林函数法:其解为含有格林函数的有限积分。 
由§10.2:{Δu=−h(M)u| σ =f(M) → 
u(M)=∭ τ G(M,M 0 )h(M 0 )dτ 0 −∬ σ f(M 0 )∂G∂n 0  dσ 0  
G(M,M 0 )−狄氏格林函数 
2.格林函数:点源函数,点源产生的场和影响若外力f(x,t)只在ξ点,τ时起作用 
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u tt =a 2 u xx +f(x,t),f(x,t)={0,x≠ξ,t≠τf(ξ,τ),x=ξ,t=τ u| x=0 =0,u| x=l =0u| t=0 =0,u t | t=0 =0u(x,t)−格林函数,即G(x,t|ξ,τ);f(x,t)−点源  

3.为何引入格林函数法: 
5.2→{Δu=−h(M)u| σ =f(M) → 
u(M)=∭ τ G(M,M 0 )h(M 0 )dτ 0 −∬ σ f(M 0 )∂G∂n 0  dσ 0  
(1)解的形式(有限积分)便于理论分析和研究 
(2)以统一的形式研究各类定解问题 
(3)对于线性问题,格林函数一旦求出,就可以算出任意源的场,关键就是求点源 

§10.1δ函数 

10.1.1δ函数的引入 

1.物理背景 
(1)金属线:总质量m=1,集中在x=0处, 
则密度:ρ(x)=lim Δx→0 ΔmΔx ={0,x≠0∞,x=0  
∫ ∞ −∞ ρ(x)dx=1 

(2)带电导线:总电量q=1,集中在x=0处 
则电荷密度:ρ(x)=lim Δx→0 ΔqΔx ={0,x≠0∞,x=0  
∫ ∞ −∞ ρ(x)dx=1 

2.定义: 
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δ(x)={0,x≠0∞,x=0 −δ函数∫ ∞ −∞ δ(x)dx=1  

一般：⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δ(x−x 0 )={0,x≠x 0 ∞,x=x 0  −δ函数∫ ∞ −∞ δ(x−x 0 )dx=1  

3.注意: 
(1)δ−密度函数和点源函数 
若在x=x 0 点放有m质量,总质量m,则ρ(x)=mδ(x−x 0 ) 
若在x=x 0 点放有电量为q的点电荷,总电量为q,则ρ(x)=qδ(x−x 0 ) 

(2)δ广义函数 

10.1.2δ函数的性质 

设f(x)在(−∞,∞)连续,则 
1.∫ ∞ −∞ f(x)δ(x−x 0 )dx=f(x 0 )[∫ ∞ −∞ f(x)δ(x)dx=f(0)] 
注意:δ也能表示连续分布的函数 
f(t)=∫ ∞ −∞ f(τ)δ(τ−t)dτ=∫ b a f(τ)δ(τ−t)dτ 

附:判断函数相等的一种方法: 
设f(x)与g(x)都是定义在(a,b)区间上的函数,若对于定义在(a,b)区间上的任意连续函数φ(x)都有如下等式成立:∫ b a f(x)φ(x)dx=∫ b a g(x)φ(x)dx,则必有:f(x)=g(x),特别：若∫ b a φ(x)g(x)dx=0,则必有g(x)=0 

2.若定义ddx δ(x)=δ ′ (x)−δ函数的导数,则 
(1)∫ ∞ −∞ f(x)δ ′ (x−x 0 )dx=−f ′ (x 0 ) 
(2)(x−x 0 )δ ′ (x−x 0 )=−δ(x−x 0 ) 
(3)∫ ∞ −∞ f(x)δ (n) (x−x 0 )dx=(−1) n f (n) (x 0 ) 

3.δ[φ(x)]=∑ i=1 n δ(x−x i )|φ ′ (x i )| ,其中φ(x i )=0 

10.1.3高维δ函数 

1.定义： 
(1)⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δ(M−M 0 )={0,M≠M 0 ,∞,M=M 0 , ∭ ∞ −∞ δ(M−M 0 )dv=1,为三维函数,dv=dxdydz  
其中δ(M−M 0 )=δ(x−x 0 ,y−y 0 ,z−z 0 )=δ(x−x 0 )δ(y−y 0 )δ(z−z 0 ) 

(2)⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δ(M−M 0 )={0,M≠M 0 ,∞,M=M 0 , ∬ ∞ −∞ δ(M−M 0 )dxdy=1为二维函数  
其中δ(M−M 0 )=δ(x−x 0 ,y−y 0 )=δ(x−x 0 )δ(y−y 0 ) 

2.性质: 
(1)∭ ∞ −∞ f(M)δ(M−M 0 )dxdydz=f(x 0 ,y 0 ,z 0 )=f(M 0 ) 
(2)∬ ∞ −∞ f(M)δ(M−M 0 )dxdy=f(x 0 ,y 0 )=f(M 0 ) 

10.1.4例题 

1.∫ 2 1 sinxδ(x−12 )dx=0 
2.∫ 2 1 sinxδ(x)dx=0 
3.∫ ∞ −∞ ∫ ∞ −∞ sin(x+y)δ(x+2)δ(y−1)dxdy=sin(−1) 
4.长为1，密度为ρ的弦两端固定,初位移为零,初始时刻在x=x 0 点受到一横向冲量I 0 .试写出弦的横震动的定解问题. 
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u tt =a 2 u xx u| x=0 =0,u| x=l =0u| t=0 =0u t | t=0 =I 0 ρ δ(x−x 0 )  

§10.2泊松方程的狄氏问题 

{Δu=−h(M),M∈τ(1)u| σ=0 =g(M)(2)  

10.2.1格林公式 

1.为何引入格林公式 
(1)积分公式的起点是通过直接积分或分部积分将未知函数从微分号下解脱出来 
(2)我们要求解的三类数值方程中均含有Δ,格林公式是将未知函数,从微分算法Δ下解脱出来的工具.设u(x,y,z),v(x,y,z)在τ中具有连续的二阶导数,在τ ¯ 上具有连续的一阶导数,则有如下格林公式: 
2.格林第一公式 
∫ τ uΔvdτ+∫ τ ∇u⋅∇vdτ=∫ σ u∂v∂n dσ(3) 
∫ τ vΔudτ+∫ τ ∇u⋅∇vdτ=∫ σ v∂u∂n dσ(4) 

3.格林第二公式 
∫ τ uΔvdτ−∫ τ vΔudτ=∫ σ (u∂v∂n −v∂u∂n )dσ(5) 
意义:(1)将u,v,Δu,Δv的值与u,v,∂v∂n ,∂u∂n 的边值联系起来. 
(2)u,v堆成 
(3)若已知v,Δv=0,及v| σ ,则由格林公式可能求得{Δu=−h(M)(1)u| σ =g(M)(2) 之解. 

4.球面平均值公式 
(1)定义: 
u ¯ (r,t)=14πr 2  ∬ S M 0  r  u(M,t)ds 
=14π ∬ S M 0  r  u(M,t)dΩdΩ=dsr 2  =sinθdθdφ 
−u(M,t)在以M 0 为中心，r为半径的球面S M 0  r 上的平均值. 
(2)显然u(M 0 ,t 0 )=lim r→0 u ¯ (r,t 0 ) 

10.2.2积分公式−格林函数法 

1.(三维)狄氏积分公式:M,M 0 ∈τ 
{Δu=−h(M)(1)u| σ =f(M)(2) {ΔG=−δ(M−M 0 )(3)G| σ =0(4)  
则(3)→G=14πr (10.3.4),r=(x−x 0 ) 2 +(y−y 0 ) 2 +(z−z 0 ) 2  − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −  √  
[(1)⋅G−(3)⋅u]在[τ−τ ε ]中积分有: 
∫ τ−τ ε  [GΔu−uΔGdτ=∫ τ−τ ε  uδ(M−M 0 )dτ−∫ τ−τ ε  Gh(M)dτ 
对左边用格林第二公式有: 
∫ σ+σ ε  (G(∂u∂n −u∂G∂n )dσ=∫ τ−τ ε  uδ(M−M 0 )dτ−∫ τ−τ ε  Gh(M)dτ 
∫ σ (G∂u∂n −u∂G∂n )dσ−u(M 0 )=−∫ τ G(M,M 0 )h(M)dτ 
将边界条件(2)(4)代入上式有: 
u(M 0 )=∫ τ G(M,M 0 )h(M)dτ−∫ σ f(M)∂G∂n dσ 
u(M)=∫ τ G(M,M 0 )h(M 0 )dτ 0 −∫ σ f(M 0 )∂G∂n 0  dσ 0  
∵G(M,M 0 )=G(M 0 ,M) 

2.狄氏积分公式的物理意义: 
第一项:体内源产生的场的和。 
第二项:边界上源产生的场的和。 

3.(二维)狄氏积分公式 
{Δu(M)=−h(M)M∈σu| l =f(M)  
u(M)=∬ σ G(M,M 0 )h(M 0 )dσ 0 −∫ l f(M 0 )∂G∂n 0  dl 0  

10.2.3小结 

1.∫ τ uΔvdτ−∫ τ vΔudτ=∫ σ (u∂v∂n −v∂u∂n )dσ(5) 
2.{Δu=−h(M),M∈τ(1)u| σ =f(M)(2)  
u(M)=∭ τ G(M,M 0 )h(M 0 )dτ 0 −∬ σ f(M 0 )∂G∂n 0  dσ 0 (6) 
{ΔG=−δ(M−M 0 )(3)G| σ =0(4) G(M,M 0 )=G(M 0 ,M) 

§10.3格林函数 

10.3.1泊松方程的格林函数 

1.三维:ΔG=−δ(M−M 0 ) 
ΔG=1r 2  ∂∂r (r 2 ∂G∂r =−δ(r) 
(1)若r≠0:G=−C 1 1r  
(2)若r=0:考虑∭ τ ε  ΔGdv=−∭ τ ε  δ(r)dv=−1 
又∭ τ ε  ΔGdv=∭ τ ε  ∇⋅∇Gdv=∬ σ ε  ∇G⋅dσ ⃗ =C 1 4π 
→C 1 =−14π , 
(1),(2)→G=14πr −泊松方程格林函数 

2.二维:ΔG=−δ(M−M 0 ) 
ΔG=1r ∂∂r (r∂G∂r )=−δ(r),r=(x−x 0 ) 2 +(y−y 0 ) 2  − − − − − − − − − − − − − − − − −  √  
∬ σ ∇⋅∇udσ=∫ l ∇u⋅dl ⃗  
G(M,M 0 )=12π ln1r