[量子计算]量子门——量子计算中几个常用的逻辑门

前提知识

【希尔伯特空间(Hilbert Space)】
其定义是在一个复数向量空间上的给定的内积 。简单来说就是复向量内积空间。复数向量的概念高中就有学过，而所谓内积空间则是两个向量上的函数并返回一个标量的二元运算，它的结果是欧几里得空间的标准内积。两个向量的点积写作a·b，数量积及标量积。相信学过高数的同学应该不会陌生。
对于量子计算，一个量子系统的态空间一般用有限维度的Hilbert空间来表述，即可以用来表述量子系统的各种可能的量子态。

【量子两个基本状态】
叠加态与纠缠态是两个基本的量子状态，主要是基于量子叠加和量子纠缠的性质来进行特殊的计算。简单来说，所谓量子叠加态就是一个量子能在同一时间处于两种不同属性0和1的状态，而对于经典物理中，一个粒子只能处于一种状态，如要么左旋，要么右旋。所谓量子纠缠态，简单来说，就是满足一定条件的情况下一个量子的行为将会影响到另一个量子的状态。即其中一个量子被操作改变而发生状态变化时，比如进行量子观测时，一个量子被观测为左旋。则另一个量子其状态立即发生相应的状态变化。而两个量子之间不存在一定相同或者相反的绝对规则。因此两个被纠缠的粒子可以是状态相同，也可以是状态相反。

常用于量子计算的逻辑门

一，对单量子进行操作的逻辑门

【泡利门系列】
【泡利-X 门(Pauli-X gate)】
泡利-X 门操作一个量子比特，相当于经典的逻辑非门。如操作前量子位为 |1〉则进过泡利X门操作后会换成 |0〉。反之则由 |0〉换成 |1〉。
其线代矩阵表示为：

【泡利-Y 门(Pauli-Y gate)】
泡利-Y 门操作单一个量子比特。有点类似于复数操作这个门可以以一个 泡利 Y 矩阵表示：
其线代矩阵表示为：

【泡利-Z 门(Pauli-Z gate)】
泡利-Z 门操作单一个量子比特。 这个门保留基本状态|0〉 不变并且将|1〉 换成- |1〉。 这个门可以以一个 泡利 Z 矩阵表示：
其线代矩阵表示为：

【阿达马门(Hadamard Gate)】
阿达马门是只对一个量子比特进行操作的门。

简单来说，在量子计算中，该逻辑门可以实现对|0〉或者|1〉进行操作，然后成为叠加态。
在微软的Q#中，我们一般用H(qubits[0])或者H(qubits[1])来表示对量子位0或者1的状态进行执行阿达马门 H 操作，使其处于叠加状态。
即将量子位|0〉操作为
将量子位|1〉操作为
根据计算公式可以知道，如果进行连续两次H计算，那么由于H的平方为1，则相当于没有进行任何的逻辑运算。
PS：对于微软的Q#等概念逻辑讲解完毕后，会对整个Q#编程来进行几篇文章的讲解。

【向位门(Hadamard Gate)】
对量子操作，改变旋转向位。通常能够进行操作在Bloch球面上将比特水平旋转90度的操作门，我们称之为S门。即旋转矢基θ 为pai的一般，90度。
如果为pai的四分之一时，我们称之为T门，即饶水平面上旋转45度。

二，对双量子进行操作的逻辑门

【受控非门CNOT(Control-NOT gate)】
定义受控非门即操作两个量子比特，第二个量子比特只有在第一个量子比特为 |1〉的时候进行NOT操作，否则就保持不变。实际上，我们一般用这个逻辑门来对两个量子之间进行纠缠处理。而且因为是受控非门，因此我们可以控制受控量子对象的逻辑状态。

【受控互换门SWAP(Swap gate)】
互换门操作两个量子比特，让两个量子比特相互交换量子位。其逻辑构成可以由三个逻辑非门组成。逻辑相对简单，即SWAP(A,B)后，如果我们定义A的量子位为0，B的量子位为1，进过逻辑门操作后，则观测结果为A的量子位为1，B的量子位为0。

三，对三量子进行操作的逻辑门

【Toffoli门CCNOT(Controlled-Controlled-NOT gate)】
Toffoli门是一个操作三个量子比特的的量子逻辑门，其为一种通用可逆逻辑门。
主要表征为：operation CCNOT (control1 : Qubit, control2 : Qubit, target : Qubit) : ()
其前两个量子比特是 |1〉，则对第三个量子比特进行类似于经典的逻辑非门处理，反之则不做操作。前两个是操作子，后一个是观测子。
整体输入输出表达式可以观测为以下：

即对第一和第二个量子位同时 |1〉的时候，对第三个量子位进行逻辑反转操作。
|a,b,c〉-> |a,b,c + (ab)〉

【Fredkin门三位受控互换门CSWAP】

即对第一为 |1〉，且第二和第三个量子位不同时为 |1〉的时候，两个量子位相互交换。