归并算法经典应用——求解逆序数

在之前介绍线性代数行列式计算公式的时候，我们曾经介绍过逆序数：我们在列举出行列式的每一项之后，需要通过逆序数来确定这一项符号的正负性。如果有忘记的同学可以回到之前的文章当中复习一下：

线性代数行列式

如果忘记呢，问题也不大，这个概念比较简单，我想大家很快就能都搞清楚。

今天的这一篇文章，我想和大家聊聊逆序数的算法，也是一道非常经典的算法题，经常在各大公司的面试题当中出现。

我们先来回顾一下逆序数的定义，所谓逆序数指的是数组当中究竟存在多少组数对，使得排在前面的数大于排在后面的数。我们举个例子，假设当下有一个数组是: [1, 3, 2]。

对于数对(3, 2)来说，由于3排在2前面，并且3 > 2，那么就说明(3, 2)是一对逆序数对。整个数组当中所有逆序数对的个数就是逆序数。

我们从逆序数的定义当中不难发现，逆序数其实是用来衡量一个数组有序程度的一个指标。逆序数越大，说明这个数组递增性越差。如果逆序数为0，说明这个序列是严格递增的。如果一个长度为n的数组的逆序数是\(C_n^2\)，那么说明这个数组是严格递减的，此时逆序数最大。

那么，我们怎么快速地求解逆序数呢？

暴力解法

显然，这个问题可以暴力求解，我们只需要遍历所有的数对，然后判断是否构成逆序即可，最后累加一下所有逆序数对的个数就是最终的答案。

这个代码非常简单，只需要几行：

inverse = 0
for i in range(1, 10):
    for j in range(0, i):
        if arr[j] > arr[i]:
            inverse += 1

这样当然是可以的，但是我们也很容易发现，这样做的时间复杂度是\(O(n^2)\)，这在很多时候是我们不能接受的。即使是运行速度非常快的C++，在单核CPU上一秒钟的时间，也就能跑最多n=1000这个规模。再大需要消耗的时间就会陡然增加，而在实际应用当中，一个长度超过1000的数组简直是家常便饭。显然，我们需要优化这个算法，不能简单地暴力求解。

分治

我们可以尝试使用分治算法来解决这个问题。

对于一个数组arr来说，我们试着将它拆分成两半，比如当下arr是[32, 36, 3, 9, 29, 16, 35, 73, 34, 82]。我们拆分成两半之后分别是[32, 36, 3, 9, 29]和[16, 35, 73, 34, 82]。我们令左边半边的子数组是A，右边半边的子数组是B。显然A和B都是原问题的子问题，我们可以假设通过递归可以求解出A和B子问题的结果。

那么问题来了，我们怎么通过A、B子问题的结果来构建arr的结果呢？也就是说，我们怎么通过子问题分治来获取原问题的答案呢？

在回答之前，我们先来分析一下当前的情况。当我们将arr数组拆分成了AB两个部分之后，整个arr的逆序数就变成了三个部分。分别是A数组之间的逆序数、B数组之间的逆序数，以及AB两个数组之间的逆序数，也就是一个元素在A中，一个元素在B中的逆序数对。我们再来分析一下，会发现A数组中的元素交换位置，只会影响A数组之间的逆序数，并不会影响B以及AB之间构成的逆序数。因为A中的元素即使交换位置，也在B数组所有元素之前。

我们举个例子：

假设arr=[3, 5, 1, 4]，那么A=[3, 5], B=[1, 4]。对于arr而言，它的逆序数是3分别是(3， 1)， （5， 1）和（5， 4）。对于A而言，它的逆序数是0，B的逆序数也是0。我们试着交换一下B当中的位置，交换之后的B=（4， 1），此时arr=[3, 5, 4, 1]。那么B的逆序数变成1，A的逆序数依然还是0。而整体arr的逆序数变成了4，分别是：（3， 1），（5， 1），（5， 4）和（4，1），很明显整体的逆序数新增的就是B交换元素带来的。通过观察，我们也能发现，对于A中的3和5而言，B中的1和4的顺序并不影响它们构成逆序数的数量。

想明白了这一层，剩下的就简单了。既然A和B当中的元素无论怎么交换顺序也不会影响对方的结果，那么我们就可以放心地使用分治算法来解决了。我们先假设，我们可以通过递归获取A和B各自的逆序数。那么剩下的问题就是找出所有A和B个占一个元素的逆序数对的情况了。

我们先对A和B中的元素进行排序，我们之前已经验证过了，我们调整A或者B当中的元素顺序，并不会改变横跨AB逆序数的数量，而我们通过递归已经求到了A和B中各自逆序数对的数量，所以我们存下来之后，就可以对A和B中的元素进行排序了。A和B中元素有序了之后，我们可以用插入排序的方法，将A中的元素依次插入B当中。

B: XXXXXXXXX j XXXXXXXXXXXX
            /
          ai

从上图我们可以看出来，假设我们把\(a_i\)这个元素插入B数组当中j的位置。由于之前\(a_i\)排在B这j个元素之前，所以构成了j个逆序数对。我们对于所有A中的元素\(a_i\)求出它在B数组所有插入的位置j，然后对j求和即可。

比较容易想到，由于B元素有序，我们可以通过二分的方法来查找A当中元素的位置。但其实还有更好的办法，我们一个步骤就可以完成AB的排序以及插入，就是将AB两个有序的数组进行归并。在归并的过程当中，我们既可以知道插入的B数组中的位置，又可以完成数组的排序，也就顺带解决了A和B排序的问题。所以整个步骤其实就是归并排序的延伸，虽然整个代码和归并排序差别非常小，但是，这个过程当中的推导和思考非常重要。

如果你能理解上面这些推导过程，我相信代码对你来说并不困难。如果你还没能完全理解，也没有关系，借着代码，我相信你会理解得更轻松。话不多说了，让我们来看代码吧：

def inverse_num(array):
    n = len(array)
    if n <= 1:
        return 0, array

    mid = n // 2
    # 将数组拆分为二往下递归
    inverse_l, arr_l = inverse_num(array[:mid])
    inverse_r, arr_r = inverse_num(array[mid:])

    nl, nr = len(arr_l), len(arr_r)

    # 插入最大的int作为标兵，可以简化判断超界的代码
    arr_l.append(sys.maxsize)
    arr_r.append(sys.maxsize)

    i, j = 0, 0
    new_arr = []
    # 存储array对应的逆序数
    inverse = inverse_l + inverse_r

    while i < nl or j < nr:
        if arr_l[i] <= arr_r[j]:
            # 插入A[i]的时候逆序数增加j
            inverse += j
            new_arr.append(arr_l[i])
            i += 1
        else:
            new_arr.append(arr_r[j])
            j += 1
    return inverse, new_arr

从代码层面来看，上面这段代码实现了归并排序的同时也算出了逆序数。所以这就是为什么很多人会将两者相提并论的原因，也是我个人非常喜欢这个问题的原因。看起来完全不相关的两个问题，竟然能用几乎同一套代码来解决，不得不感叹算法的神奇。也正是因此，我们这些算法的研究和学习者，才能获取到源源不断的乐趣。

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