矩阵的特征值和特征向量

线性相关--->矩阵奇异

对于一个n×n 的矩阵A，找到所有的数λ，使得方程

Ax = λx  ①

有非零解x,这样的数λ被称为A的一个特征值，而任何满足方程①的非零（n×1)向量被称为是对应于λ的一个特征向量。

 

马同学看图学数学https://www.zhihu.com/question/21874816/answer/181864044（关于特征值和特征向量的）

 

①换成Ax - λx = θ 或 (A - λI)x = θ, x ≠ θ ②

 

其中I是单位矩阵，θ表示零向量。如果方程②要有非零解，那么必须选择 λ 使得(n*n)的矩阵 A - λI 是奇异的。因此特征值问题由两部分组成。

1. 求所有的数λ，使得A - λI 是奇异的

2. 给定一个使 A - λI 奇异的数λ，求所有满足 (A - λI)x = θ的非零向量

 

 

 

例题1：求所有的数λ，使得A - λI是奇异的，其中

 

解： 特征值，第一步：

 

- (5-λ)(2+λ) + 12 = 0  ----> λ²-3λ+2 = 0.

所以当且仅当λ=2 或 λ=1时， A - λI是奇异的

第二步：

列出λ=2 和λ=1时的矩阵 A - λI；

， 

A - 2I 和A - I 这两个矩阵都是奇异的。

 

特征向量：

对于A - 2I，有齐次方程：

3x₁ - 2x₂ = 0

6x₁ - 4x₂ = 0.

    解得x1 = (2/3)x2. 因此A - 2I =θ的所有非零解都有

 

   所以特征值λ=2 对应的特征向量为x

 

当特征值λ=1时同理。

 

 奇异矩阵百科词条：

奇异矩阵是线性代数的概念，就是该矩阵的秩不是满秩。首先，看这个矩阵是不是方阵（即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵）。

然后，再看此矩阵的行列式|A|是否等于0，若等于0，称矩阵A为奇异矩阵；若不等于0，称矩阵A为非奇异矩阵。 同时，由|A|≠0可知矩阵A可逆，这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。 如果A为奇异矩阵，则AX=0有无穷解，AX=b有无穷解或者无解。如果A为非奇异矩阵，则AX=0有且只有唯一零解，AX=b有唯一解。

 

 参考《线性代数引论》第5版.  jonhson

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