回溯算法（排列树+子集树）

回溯法：

　　回溯法（backtracking）有“通用的解题法”之称。回溯法对任一解的生成，一般都采用逐步扩大解的方式。每前进一步，都试图在当前部分解的基础上扩大该部分解。它在问题的状态空间树中，从开始结点（根结点）出发，以深度优先搜索整个状态空间。这个开始结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点成为新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的活结点处，并使这个活结点成为当前扩展结点。回溯法以这种工作方式递归地在状态空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。

回溯法的基本思想： 

　　确定了解空间的组织结构后，回溯法从根节点出发，以深度优先搜索方式搜索整个解空间。回溯法以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间所有解都被遍历过为止。
　　回溯法搜索解空间树时，通常采用两种策略避免无效搜索，提高回溯法的搜索效率。其一是用约束函数在当前节点（扩展节点）处剪去不满足约束的子树；其二是用限界函数剪去得不到最优解的子树。这两类函数统称为剪枝函数。

　　回溯法解题通常包含以下三个步骤：

1. 针对所给问题，定义问题的解空间；
2. 确定易于搜索的解空间结构；
3. 以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

注：回溯算法的求解过程实质上是一个先序遍历一棵"状态树"的过程,只是这棵树不是遍历前预先建立的,而是隐含在遍历过程中。

 

回溯算法的一般框架（子集树回溯算法）：

void backtrack (int t)　　　　　　　　//t:代表待考察的对象
{
   if (t>n) output(x);　　　　　　　　//n:考察对象的个数
     else
       for (int i=0;i<=1;i++) {　　　//控制分支的数目，此处只有两个分支，0、1分别代表是否装入背包
         x[t]=i;
         if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);　//剪枝函数：约束函数+限界函数 ——> 递归
       }
}

 

回溯算法的一般框架（排列树回溯算法）：

void backtrack (int t)
  {
    if (t>n) output(x);   //x初始化为排列的其中一种
     else
       for (int i=t;i<=n;i++) {
          swap(x[t], x[i]);    //调换位置 
          if (constraint(t)&&bound(t))  //若不满足限制函数则不继续深入
               backtrack(t+1);
          swap(x[t], x[i]);    //调回原位 
        }
 }

例题：输入一个字符串,按字典序打印出该字符串中字符的所有排列。例如输入字符串abc,则打印出由字符a,b,c所能排列出来的所有字符串abc,acb,bac,bca,cab和cba。

import java.util.ArrayList;
import java.util.TreeSet;
public class Solution {
    public ArrayList Permutation(String str) {
        ArrayList result = new ArrayList();
        if (str == null || str.length() == 0)  // 判断是否是空对象或者长度为空
            return result;
        char[] chars = str.toCharArray();  // 将str字符串转成字符数组char[]
        TreeSet temp =  new TreeSet<>();  // TreeSet可以去重
        Permutation(chars, 0, temp);
        result.addAll(temp);  // 将temp中的字符串全部放置result列表中
        return result;
    }
    public static void Permutation(char[] chars, int begin, TreeSet temp){
        if (chars == null || chars.length == 0  || begin > chars.length-1)
            return;
        if (begin == chars.length - 1){  // 当下标下降到最后一层，说明将会有新的字符串产生
            temp.add(String.valueOf(chars));  // 将新产生的字符串加入temp集合，可以去重
        }else{
            for(int j = begin; j < chars.length; j++){
                swap(chars, begin, j);
                Permutation(chars, begin+1, temp);
                swap(chars, begin, j);
            }
        }
    }
    
    public static void swap(char[] chars, int i, int j){
        char temp = chars[i];
        chars[i] = chars[j];
        chars[j] = temp;
    }
}