【二】欧拉公式

世界上最伟大的十个公式：

欧拉公式、麦克斯韦方程组、牛顿第二定律、勾股定理、薛定谔方程、质能方程、德布罗意方程组、1+1=2、傅立叶变换、圆的周长公式。

欧拉公式的巧妙之处在于，它没有任何多余的内容，将数学中最基本的e、i、π放在了同一个式子中，同时加入了数学也是哲学中最重要的0和1，再以简单的加号相连。高斯曾经说：“一个人第一次看到这个公式而不感到它的魅力，他不可能成为数学家。” 虽然不敢肯定她是世界上“最伟大公式"，但是可以肯定它是最完美的数学公式之一。

欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立和三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”。

一.欧拉公式的推导

1.推导一:

可以使用高等数学里的幂级数展开，进而可以推导得出。

把里的看成一个整体，根据麦克劳林展开式，把x换成ix代进去可以得到：

    我们把不含 i 的放一边，含 i 的放在另一边，则可以得到：

所以得证。

2.推导二：

参考百家号：学霸数学

实数域上定义为： ，可以推广到复数域。根据之前对复数乘法的描述，乘上是进行伸缩和旋转运动，  取值不同，伸缩和旋转的幅度不同。

我们利用之前分析的复数乘法的意义:(旋转和伸缩分析，乘以就是旋转和伸缩,我们用图像来表示更容易理解。

取不同的值时，旋转量和伸缩量都不一样，我们取时，下图可以看到相乘的次数不一样，旋转的角度不一样。 

   

当时，我们发现,它的旋转量更加趋近于1弧度。

当趋于无穷时，此时表示在单位圆上旋转了1弧。、

而表示在单位圆上旋转了弧度，。

那我们平时说的表示什么呢?

我们将它进行变化：

于是我们根据上面的演绎，可以发现其实这个还是旋转量，相当于旋转ln3弧度。

 

二.欧拉公式：

1.在复平面上画一个单位圆，单位圆上的点可以用三角函数来表示：

2.复平面上乘法的几何意义

3.对同一个点不同的描述方式

4.三角函数定义域被扩大到了复数域

和

我们把复数当作向量来看待，复数的实部是 方向，虚部是方向，很容易观察出其几何意义。

 

三.欧拉恒等式

当 的时候，代入欧拉公式：

  得到：   。

就是欧拉恒等式，被誉为上帝公式，  、  、  、乘法单位元1、加法单位元0，这五个重要的数学元素全部被包含在内，在数学爱好者眼里，仿佛一行诗道尽了数学的美好。

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