【二】欧拉公式

世界上最伟大的十个公式:

欧拉公式、麦克斯韦方程组、牛顿第二定律、勾股定理、薛定谔方程、质能方程、德布罗意方程组、1+1=2、傅立叶变换、圆的周长公式。

欧拉公式的巧妙之处在于,它没有任何多余的内容,将数学中最基本的e、i、π放在了同一个式子中,同时加入了数学也是哲学中最重要的0和1,再以简单的加号相连。高斯曾经说:“一个人第一次看到这个公式而不感到它的魅力,他不可能成为数学家。” 虽然不敢肯定她是世界上“最伟大公式",但是可以肯定它是最完美的数学公式之一。

欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域,建立和三角函数和指数函数的关系,被誉为“数学中的天桥”

一.欧拉公式的推导

1.推导一:

可以使用高等数学里的幂级数展开,进而可以推导得出。

e^{ix}里的ix看成一个整体,根据麦克劳林展开式,把x换成ix代进去可以得到:

    我们把不含 i 的放一边,含 i 的放在另一边,则可以得到:

所以得证。

2.推导二:

参考百家号:学霸数学

实数域上定义e为: e=\lim_{n \to \infty }(1+\frac{1}{n})^{n},可以推广到复数域e^{i}=\lim_{n \to \infty }(1+\frac{i}{n})^{n}。根据之前对复数乘法的描述,乘上(1+\frac{i}{n})是进行伸缩和旋转运动, n 取值不同,伸缩和旋转的幅度不同。

我们利用之前分析的复数乘法的意义:(旋转和伸缩分析,乘以就是旋转和伸缩,我们用图像来表示更容易理解。

n取不同的值时,旋转量和伸缩量都不一样,我们取n=4时,下图可以看到相乘的次数不一样,旋转的角度不一样。 

   

【二】欧拉公式_第1张图片

n=10时,我们发现,它的旋转量更加趋近于1弧度。

【二】欧拉公式_第2张图片

n趋于无穷时,此时e^{i}表示在单位圆上旋转了1弧。、

e^{ix}表示在单位圆上旋转了x弧度,e^{ix}=cosx+isinx

那我们平时说的3^{i}表示什么呢?

我们将它进行变化:

【二】欧拉公式_第3张图片

于是我们根据上面的演绎,可以发现其实这个还是旋转量,相当于旋转ln3弧度。

 

二.欧拉公式:e^{ix}=cosx+isinx

1.在复平面上画一个单位圆,单位圆上的点可以用三角函数来表示:

【二】欧拉公式_第4张图片【二】欧拉公式_第5张图片

2.复平面上乘法的几何意义

【二】欧拉公式_第6张图片

3.对同一个点不同的描述方式

【二】欧拉公式_第7张图片

4.三角函数定义域被扩大到了复数域

sin\theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}cos\theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}

我们把复数当作向量来看待,复数的实部是 x方向,虚部是y方向,很容易观察出其几何意义。

 

【二】欧拉公式_第8张图片

三.欧拉恒等式

\theta =\pi 的时候,代入欧拉公式:

e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta  得到:   e^{i\pi }+1=0

e^{i\pi }+1=0就是欧拉恒等式,被誉为上帝公式,  epi  、i  、乘法单位元1、加法单位元0,这五个重要的数学元素全部被包含在内,在数学爱好者眼里,仿佛一行诗道尽了数学的美好。


注:本文整理网上资料,包括知乎、博客等,如有侵权立刻删除。

你可能感兴趣的:(复变函数)