广义后缀自动机小结

定义:

广义后缀自动机是建在$Trie$ 树上的后缀自动机，和加特殊字符拼接相比好像就是空间上的优化？ 实现上就是每次加入新的模式串的时候，将$last$ 结点重置为$root$。好像也没啥特殊的。

一波题解：

• 牛客多校Round1 I - Substring
  https://www.nowcoder.com/acm/contest/139#question

sol: 寻找在各种置换下本质不同的子串个数。
由于字符集只有$abc$，可行的置换只有$3!$种。对原始串在这6种置换下的表示建广义后缀自动机。发现对于只有一种字符的子串，每个重复了3种，这种子串的个数可以通过求最长连续同色子串的长度得到，如$aaa$，$ccccccc$。其余的子串则重复了$3!$次。则最终的答案为 $(所有子串个数+同字符子串个数\ast 3)/6$.

code:

#include
 
using namespace std;
 
typedef long long ll;
 
const int maxn = 8e5+5;
const int s_sz = 4;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9+7;
 
#define fi first
#define se second
#define MP make_pair
#define pii pair
 
int pos[maxn],sum[maxn],tmp[maxn];
int maxx,cur;
 
string ss[10];
char s1[maxn],s2[maxn];
 
void init(){
    cur = 0;
    ss[0] = "abc";
    do{
        ss[++cur] = ss[0];
    }while(next_permutation(ss[0].begin(),ss[0].end()));
}
 
struct SAM{
    int ch[maxn][s_sz];
    int rt,sz,last;
    int len[maxn],suf[maxn],r[maxn];
    ll val[maxn],pre[maxn];
 
    void init(){
        memset(ch,0,sizeof(ch[0]) * (sz+1));
        memset(suf,0,sizeof(int)*(sz+1));
        memset(r,0,sizeof(int)*(sz+1));
        rt = sz = last = 1;
    }
 
    inline void add(int x,int c){
        int p = last,np = ++sz;
        last = np;
        len[np] = x;
        while(p && !ch[p][c]){
            ch[p][c] = np;
            p = suf[p];
        }
        if(!p){
            suf[np] = rt;
            return;
        }
        int q = ch[p][c];
        if(len[q] == len[p] + 1) suf[np] = q;
        else{
            int nq = ++ sz;
            len[nq] = len[p] + 1;
            memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[q]));
            suf[nq] = suf[q];
            suf[np] = suf[q] = nq;
            while(ch[p][c] == q){
                ch[p][c] = nq;
                p = suf[p];
            }
        }
    }
 
    inline int idx(char c){
        return c - 'a';
    }
 
    inline void build(char* s){
        last = rt;
        int n = strlen(s);
        for(int i = 0;i<n;i++){
            add(i+1,idx(s[i]));
        }
    }
 
    inline void Topsort(int n){
        memset(sum,0,sizeof(int)*(n+1));
        for(int i = 1;i<=sz;i++) sum[len[i]] ++ ;
        for(int i = 1;i<=n;i++) sum[i] += sum[i-1];
        for(int i = 1;i<=sz;i++) tmp[sum[len[i]]--] = i;
    }
 
    inline void get_right(){
        for(int i = sz;i;i--){
            int u = tmp[i];
            if(suf[u]) r[suf[u]] += r[u];
        }
    }
 
    inline ll Query(){
        ll ret = 0;
        for(int i = rt + 1;i<=sz;i++){
            ret += len[i] - len[suf[i]];
        }
        return ret;
    }
}sam;
 
int main(){
    int n;
    init();
    while(~scanf("%d",&n)){
        scanf("%s",s1);
        s2[n] = '\0';
        sam.init();
        for(int i = 1;i<=cur;i++){
            for(int j = 0;j<n;j++){
                int c = s1[j] - 'a';
                s2[j] = ss[i][c];
            }
            sam.build(s2);
        }
        sam.Topsort(n);
        sam.get_right();
        ll ans = sam.Query();
        int res = 1;
        int maxx = 1;
        for(int i = 1;i<n;i++){
            if(s1[i] == s1[i-1]) res++;
            else res = 1;
            maxx = max(maxx,res);
        }
        ans += maxx * 3;
        ans /= 6;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

• 2780: [Spoj]8093 Sevenk Love Oimaster
  https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2780

sol:求有n个大串和m个询问，每次给出一个字符串s询问在多少个大串中出现过
广义自动机裸题。。。 记录每个状态在几个大串中出现即可。

code：

#include
 
using namespace std;
 
typedef long long ll;
 
const int maxn = 4e5+5;
const int s_sz = 26;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
 
#define fi first
#define se second
#define MP make_pair
#define pii pair
 
int sum[maxn],tmp[maxn],pos[maxn];
char str[maxn];
char s1[maxn];
ll f[maxn];
 
struct SAM{
    int ch[maxn][s_sz];
    int rt,sz,last;
    int len[maxn],suf[maxn],r[maxn];
    int cnt[maxn],pre[maxn];
 
    void init(){
        memset(ch,0,sizeof(ch[0]) * (sz+1));
        memset(suf,0,sizeof(int)*(sz+1));
        memset(r,0,sizeof(int)*(sz+1));
        rt = sz = last = 1;
    }
 
    inline void add(int x,int c){
        int p = last,np = ++sz;
        last = np;
        len[np] = x;
        while(p && !ch[p][c]){
            ch[p][c] = np;
            p = suf[p];
        }
        if(!p){
            suf[np] = rt;
            return;
        }
        int q = ch[p][c];
        if(len[q] == len[p] + 1) suf[np] = q;
        else{
            int nq = ++ sz;
            len[nq] = len[p] + 1;
            memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[q]));
            suf[nq] = suf[q];
            suf[np] = suf[q] = nq;
            while(ch[p][c] == q){
                ch[p][c] = nq;
                p = suf[p];
            }
        }
    }
 
    inline int idx(char c){
        return c - 'a';
    }
 
    inline void build(char* s){
        last = rt;
        int n = strlen(s);
        for(int i = 0;i<n;i++){
            add(i+1,idx(s[i]));
        }
    }
 
    inline void Topsort(int n){
        memset(sum,0,sizeof(int)*(n+1));
        for(int i = 1;i<=sz;i++) sum[len[i]] ++ ;
        for(int i = 1;i<=n;i++) sum[i] += sum[i-1];
        for(int i = 1;i<=sz;i++) tmp[sum[len[i]]--] = i;
    }
 
    inline void work(char* s,int cur){
        int n = strlen(s);
        int u = rt;
        for(int i = 0;i<n;i++){
            u = ch[u][idx(s[i])];
            int fp = u;
            while(fp && pre[fp] != cur){
                cnt[fp] ++;
                pre[fp] = cur;
                fp = suf[fp];
            }
        }
    }
 
    inline ll sol(char* s){
        ll ret = 0;
        int n = strlen(s);
        int u = rt;
        for(int i = 0;i<n;i++){
            u = ch[u][idx(s[i])];
			if(!u) return 0;
        }
        return cnt[u];
    }
}sam;
 
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int Last = 0;
    pos[0] = Last;
    for(int i = 1;i<=n;i++){
        scanf("%s",str+Last);
        int len = strlen(str+Last);
        Last += len;
        str[Last] = '\0';
        Last++;
        pos[i+1] = Last;
    }
    sam.init();
    for(int i = 1;i<=n;i++) {
        sam.build(str+pos[i]);
    }
    for(int i = 1;i<=n;i++) sam.work(str+pos[i],i);
	while(m--){
		scanf("%s",s1);
		ll ans = sam.sol(s1);
		printf("%lld\n",ans);
	}
    return 0;
}

• bzoj 3473: 字符串
  https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3473

sol:给定n个字符串，询问每个字符串有多少子串（不包括空串）是所有n个字符串中至少k个字符串的子串？
对每个状态维护 $cnt$ 表示是几个串的子串和 $pre$ 表示上个更新的串是哪个。每插入一个新串，对所有经过的节点，沿$parent$树暴力向上更新，直到遇到第一个已经被当前串更新的结点为止。 这个复杂度不是很懂怎么算啊。
建完广义后缀自动机后，对每个结点 $s$ 沿拓扑序计算 $s$ 和 $s$ 所有祖先的贡献。对每个串，在自动机上扫一遍，把贡献累加起来就行。
upd: 这个题还有一个启发式合并的做法。每个节点维护一个$set$存包含这个子串的模式串的标号$id\in [1,n]$，建好$parent$树之后从根开始$dfs$，启发式合并即可。由于每个节点只有一个父亲，我们只需要$set$集合的大小(用一个数组另外存)，而每个节点的$set$在被父节点调用时信息是完整的，所以统计的答案是正确的。

code:

#include
 
using namespace std;
 
typedef long long ll;
 
const int maxn = 4e5+5;
const int s_sz = 26;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
 
#define fi first
#define se second
#define MP make_pair
#define pii pair
 
int sum[maxn],tmp[maxn],pos[maxn];
char str[maxn];
ll f[maxn];
 
struct SAM{
    int ch[maxn][s_sz];
    int rt,sz,last;
    int len[maxn],suf[maxn],r[maxn];
    int cnt[maxn],pre[maxn];
 
    void init(){
        memset(ch,0,sizeof(ch[0]) * (sz+1));
        memset(suf,0,sizeof(int)*(sz+1));
        memset(r,0,sizeof(int)*(sz+1));
        rt = sz = last = 1;
    }
 
    inline void add(int x,int c){
        int p = last,np = ++sz;
        last = np;
        len[np] = x;
        while(p && !ch[p][c]){
            ch[p][c] = np;
            p = suf[p];
        }
        if(!p){
            suf[np] = rt;
            return;
        }
        int q = ch[p][c];
        if(len[q] == len[p] + 1) suf[np] = q;
        else{
            int nq = ++ sz;
            len[nq] = len[p] + 1;
            memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[q]));
            suf[nq] = suf[q];
            suf[np] = suf[q] = nq;
            while(ch[p][c] == q){
                ch[p][c] = nq;
                p = suf[p];
            }
        }
    }
 
    inline int idx(char c){
        return c - 'a';
    }
 
    inline void build(char* s){
        last = rt;
        int n = strlen(s);
        for(int i = 0;i<n;i++){
            add(i+1,idx(s[i]));
        }
    }
 
    inline void Topsort(int n){
        memset(sum,0,sizeof(int)*(n+1));
        for(int i = 1;i<=sz;i++) sum[len[i]] ++ ;
        for(int i = 1;i<=n;i++) sum[i] += sum[i-1];
        for(int i = 1;i<=sz;i++) tmp[sum[len[i]]--] = i;
    }
 
    inline void work(char* s,int cur){
        int n = strlen(s);
        int u = rt;
        for(int i = 0;i<n;i++){
            u = ch[u][idx(s[i])];
            int fp = u;
            while(fp && pre[fp] != cur){
                cnt[fp] ++;
                pre[fp] = cur;
                fp = suf[fp];
            }
        }
    }
 
    inline void get_f(int k){
        memset(f,0,sizeof(int)*(sz+1));
        Topsort(1e5+5);
        f[rt] = 0;
        for(int i = 1;i<=sz;i++){
            int u = tmp[i];
            if(cnt[u]>=k) f[u] = len[u] - len[suf[u]];
            f[u] += f[suf[u]];
        }
    }
 
    inline ll sol(char* s,int k){
        ll ret = 0;
        int n = strlen(s);
        int u = rt;
        for(int i = 0;i<n;i++){
            u = ch[u][idx(s[i])];
            ret += f[u];
        }
        return ret;
    }
}sam;
 
int main(){
    int n,k;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    int Last = 0;
    pos[0] = Last;
    for(int i = 1;i<=n;i++){
        scanf("%s",str+Last);
        int len = strlen(str+Last);
        Last += len;
        str[Last] = '\0';
        Last++;
        pos[i+1] = Last;
    }
    sam.init();
    for(int i = 1;i<=n;i++) {
        sam.build(str+pos[i]);
    }
    for(int i = 1;i<=n;i++) sam.work(str+pos[i],i);
    sam.get_f(k);
    for(int i = 1;i<=n;i++) {
        if(i>1) printf(" ");
        printf("%lld",sam.sol(str+pos[i],k));
    }
    return 0;
}

• 「ZJOI2015」诸神眷顾的幻想乡
  https://loj.ac/problem/2137

sol: 给定一颗树，树上每个结点对应一个字符，每个路径对应一个字符串。问所有可能的子串有多少种。
叶子结点最多只有20个。考虑从叶子为起点开始进行爆搜，将路径上所有的子串插入到后缀自动机中。显然不可能将子串全部生成后再插入，考虑在搜索的同时维护上个生成的串对应的结点，那么新的结点就直接在上个结点的基础上扩展。建出后就是模板操作，直接统计即可。

code:

#include
 
using namespace std;
 
typedef long long ll;
 
const int maxn = 4e6+5;
const int s_sz = 10;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
 
#define fi first
#define se second
#define MP make_pair
#define pii pair
 
int sum[maxn],tmp[maxn];
int sta[maxn],top;
 
struct SAM{
    int ch[maxn][s_sz];
    int rt,sz,last;
    int len[maxn],suf[maxn],r[maxn];
 
    void init(){
        memset(ch,0,sizeof(ch[0]) * (sz+1));
        memset(suf,0,sizeof(int)*(sz+1));
        memset(r,0,sizeof(int)*(sz+1));
        rt = sz = last = 1;
    }
 
    inline int add(int pre,int x,int c){
        int p = pre,np = ++sz;
        last = np;
        len[np] = x;
        while(p && !ch[p][c]){
            ch[p][c] = np;
            p = suf[p];
        }
        if(!p){
            suf[np] = rt;
            return last;
        }
        int q = ch[p][c];
        if(len[q] == len[p] + 1) suf[np] = q;
        else{
            int nq = ++ sz;
            len[nq] = len[p] + 1;
            memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[q]));
            suf[nq] = suf[q];
            suf[np] = suf[q] = nq;
            while(ch[p][c] == q){
                ch[p][c] = nq;
                p = suf[p];
            }
        }
        return last;
    }
 
    inline int idx(char c){
        return c - 'A';
    }
 
    inline void Topsort(int n){
        memset(sum,0,sizeof(int)*(n+1));
        for(int i = 1;i<=sz;i++) sum[len[i]] ++ ;
        for(int i = 1;i<=n;i++) sum[i] += sum[i-1];
        for(int i = 1;i<=sz;i++) tmp[sum[len[i]]--] = i;
    }
 
    inline void get_right(char* s){
        int u = rt;
        int n = strlen(s);
        for(int i = 0;i<n;i++){
            u = ch[u][idx(s[i])];
            r[u] = 1;
        }
        for(int i = sz;i;i--){
            int u = tmp[i];
            r[suf[u]] += r[u];
        }
    }
 
    inline ll work(){
        ll ret = 0;
        for(int i = rt+1;i<=sz;i++){
            ret += len[i] - len[suf[i]];
        }
        return ret;
    }
}sam;
 
int col[maxn];
vector<int> G[maxn];
 
void DFS(int sta,int u,int fa,int L){
    // cout<
    int newsta = sam.add(sta,L,col[u]);
    for(int i = 0;i<G[u].size();i++){
        int v = G[u][i];
        if(v == fa) continue;
        DFS(newsta,v,u,L+1);
    }
}
 
int main(){
    int n;
    int coll;
    scanf("%d%d",&n,&coll);
    for(int i = 1;i<=n;i++) scanf("%d",&col[i]);
    for(int i = 1;i<n;i++){
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    sam.init();
    for(int i = 1;i<=n;i++){
        if(G[i].size()==1) {
            DFS(sam.rt,i,0,1);
        }
    }
    ll ans = sam.work();
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

• 2018 Multi-University Training Contest 8 Make ZYB Happy
  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6405

sol: 给一堆模式串和对应的权值。一个子串的权值是它在其中出现过的模式串权值的积，问不超过L的串长的权值的期望。
用类似上上个题的做法维护每个状态对应的权值。注意到一个状态 $sta$ 表示的子串是以$right$集合为最后一个字符，长度在$(len[suf[sta]],len[sta]]$之间的后缀。考虑用树状数组去维护差分数组，就可以快速地求出长度为$L$的子串权值之和。求出每个长度恰好为$L$的子串贡献之后，再正向递推求出小于等于$L$的子串的权值之和。长度不超过$L$的子串一共有${\sum }_{i=1}^{L}26^i$，等比数列求和搞一下就行。

upd: 直接线性维护差分数组即可，因为只有最后一次查询，求两遍前缀和即可。用树状数组的我怕是石乐志。

code:

#include

using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn = 4e5+5;
const int s_sz = 26;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9+7;

#define fi first
#define se second
#define MP make_pair
#define pii pair

int pos[maxn];
char str[maxn];
ll h[maxn],A[maxn];
ll f[1000000+10];
int maxx;

void Mul(ll& x,ll y){
    x *= y;
    if(x>=mod) x%=mod;
}

void Add(ll& x,ll y){
    x += y;
    if(x>=mod) x%=mod;
}

inline int lowbit(int x){ return x&-x; }

void Modify(int x,ll p){
    for(int j = x;j<=maxx;j+=lowbit(j)){
        Add(A[j],p);
    }
}

ll Query(int x){
    ll ret = 0;
    for(int j = x;j;j-=lowbit(j)){
        Add(ret,A[j]);
    }
    return ret;
}

struct SAM{
    int ch[maxn][s_sz];
    int rt,sz,last;
    int len[maxn],suf[maxn],r[maxn];
    ll val[maxn],pre[maxn];

    void init(){
        memset(ch,0,sizeof(ch[0]) * (sz+1));
        memset(suf,0,sizeof(int)*(sz+1));
        memset(r,0,sizeof(int)*(sz+1));
        rt = sz = last = 1;
    }

    inline void add(int x,int c){
        int p = last,np = ++sz;
        last = np;
        len[np] = x;
        while(p && !ch[p][c]){
            ch[p][c] = np;
            p = suf[p];
        }
        if(!p){
            suf[np] = rt;
            return;
        }
        int q = ch[p][c];
        if(len[q] == len[p] + 1) suf[np] = q;
        else{
            int nq = ++ sz;
            len[nq] = len[p] + 1;
            memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[q]));
            suf[nq] = suf[q];
            suf[np] = suf[q] = nq;
            while(ch[p][c] == q){
                ch[p][c] = nq;
                p = suf[p];
            }
        }
    }

    inline int idx(char c){
        return c - 'a';
    }

    inline void build(char* s){
        last = rt;
        int n = strlen(s);
        for(int i = 0;i<n;i++){
            add(i+1,idx(s[i]));
        }
    }

    inline void work(char* s,int cur){
        int n = strlen(s);
        int u = rt;
        for(int i = 0;i<n;i++){
            u = ch[u][idx(s[i])];
            int fp = u;
            while(fp && pre[fp] != cur){
                Mul(val[fp],h[cur]);
                pre[fp] = cur;
                fp = suf[fp];
            }
        }
    }

    inline void sol(){
        for(int i = rt+1;i<=sz;i++){
            ll tmp = val[i];
            Modify(len[suf[i]]+1,tmp);
            Modify(len[i]+1,(mod - tmp) % mod);
        }
        for(int i = 1;i<=maxx;i++){
            f[i] = Query(i);
            Add(f[i],f[i-1]);
        }
    }
}sam;

ll qpow(ll a,ll b){
    ll ret = 1;
    while(b){
        if(b&1) Mul(ret,a);
        Mul(a,a);
        b>>=1;
    }
    return ret;
}

ll Inv(ll n){
    return qpow(n,mod-2);
}

int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int Last = 0;
    pos[0] = Last;
    maxx = 0;
    for(int i = 1;i<=n;i++){
        scanf("%s",str+Last);
        int len = strlen(str+Last);
        Last += len;
        str[Last] = '\0';
        Last++;
        pos[i+1] = Last;
        maxx = max(Last - pos[i] + 5,maxx);
    }
    for(int i = 1;i<=n;i++) scanf("%lld",&h[i]);    
    sam.init();
    for(int i = 1;i<=n;i++) {
        sam.build(str+pos[i]);
    }
    for(int i = 1;i<=sam.sz;i++) {
        sam.val[i] = 1;
    }
    for(int i = 1;i<=n;i++) {
        sam.work(str+pos[i],i);
    }
    sam.sol();
    int m;
    scanf("%d",&m);
    int invv = Inv(25);
    while(m--){
        int L;
        scanf("%d",&L);
        ll ans =(qpow(26,L)-1) * 26 % mod;
        Mul(ans,invv);
        ans = Inv(ans);
        Mul(ans,f[L]);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}