CodeChef - CODIE

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参考自：yts1999’s blog

题目链接 : Codie Bird

sol:

1. 考虑朴素的$dp$方程

$$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j]+dp[i][j+1]$$

递推矩阵大概长这样。
$$T=\left[\begin{array}{ccccccccc}1& 1& 0& 0& 0& 0& \dots & 0& 0\\ 1& 1& 1& 0& 0& 0& \dots & 0& 0\\ 0& 1& 1& 1& 0& 0& \dots & 0& 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& \dots & 1& 1\end{array}\right]$$

有障碍的时候，将$[1,a]$和$[b,m]$列的矩阵元素全部置为0。将这个转移矩阵设为$S$.
设 $v_i=\left[\begin{array}{cccc}dp[i][1]& dp[i][2]& \cdots & dp[i][k]\end{array}\right]$，则 $v_n=v_1(\sum _{i=1}^{n-2}{T}^{i-1}S{T}^{n-2-i})T$。
设$P_n=\sum _{i=1}^n{T}^{i-1}S{T}^{n-i}$，则$v_n=v_1{P}_{n-2}T$。
实现上可以用单位矩阵代替$v_1$，$v_n$就是最终矩阵的第$\frac{k}{2}$行。

2. 求$P_n$可以用类似倍增的做法。

$P_1=S$
若n为偶数，$P_n=P_{\frac{n}{2}}\cdot T^{\frac{n}{2}}+T^{\frac{n}{2}}\cdot P_{\frac{n}{2}}$
若n为奇数，$P_n=P_{n-1}\cdot T+T^{n-1}\cdot S$

实现上可以考虑$1010_{(2)}=10_{(10)}$这样的求解过程。

code:

#include
#include
#include
#include
#include

using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 52;
const int mod = 1e9+7;
int n,m;

struct Mat{
    ll a[maxn][maxn];
    void init(int k){
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i = 1;i<=k;i++) a[i][i] = 1;
    }

    void reset(){
        memset(a,0,sizeof(a));
    }

    Mat operator + (Mat b){
        Mat c;
        c.reset();
        for(int i = 1;i<=m;i++)
        for(int j = 1;j<=m;j++)
            c.a[i][j] = (a[i][j] + b.a[i][j]) % mod;
        return c;
    }

    Mat operator * (Mat b){
        Mat c; 
        for(int i = 1;i<=m;i++)
        for(int j = 1;j<=m;j++){
            c.a[i][j] = 0;
            for(int k = 1;k<=m;k++){
                c.a[i][j] += a[i][k] * b.a[k][j] % mod;
            }
            c.a[i][j] %= mod;
        }
        return c;
    }

    Mat pow(int b){
        Mat ret; ret.init(m);
        Mat a = (*this);
        while(b){
            if(b&1) ret = ret * a;
            a = a * a;
            b>>=1;
        }
        return ret;
    }
};

ll qpow(ll a,int b){
    ll ret = 1;
    while(b){
        if(b&1) ret = ret * a % mod;
        a = a*a % mod;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}

int main(){
    int a,b;
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&a,&b);
    n -= 2;
    Mat T,S;
    T.reset(); S.reset();
    for(int i = 1;i<=m;i++) 
        T.a[i][i] = T.a[i][i-1] = T.a[i][i+1] = 1;
    
    S = T;
    for(int i = 1;i<=m;i++){
        if(i<=a || i>=b){
            for(int j = 1;j<=m;j++){
                S.a[j][i] = 0;
            }
        }
    }
    
    int bit = 0;
    for(int i = n;i>0;i>>=1) bit++;
    Mat P = S; Mat Ts = T;
    for(int i = bit - 2;i>=0;i--){
        P = P * Ts + Ts * P;
        Ts = Ts * Ts;
        if((n>>i)&1){
            P = P * T + Ts * S;
            Ts = Ts * T;
        }
    }
    P = P * T;
    ll ans = P.a[m/2][m/2];
    ans = ans * qpow(n,mod-2) % mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}