图像处理——傅里叶变换

一、 正交变换

首先我们要知道什么是正交矩阵，设A是一个N*N的一个矩阵，如果 ，则称矩阵A为正交矩阵。又 ，那么（E是单位矩阵）。由可以知道，A中的行向量两两正交，列向量两两正交，因此可以把行向量或者列向量当作向量空间的基向量。

设一个N*1的向量为X，设A为一个N*N的正交矩阵，，这 就是正交变换，其实就是用正交矩阵来进行线性变换叫正交变换，同时还有逆变换。（变换的实质就是对向量的拉伸与旋转）

（在这里我想说一下，其实写成 才比较好，因为可能看成是对基向量（A中的列向量）的线性变换，得到一个新的向量，更符合下文所要表达的意思）

 

二、酉变换

正交变换实在实数域中的，而酉变换要加入复数。设A为一个矩阵，如果A的逆矩阵等于A的复共轭的转置时，该线性变换称为酉变换。

三、完备性

四、二维离散性正交变换

 

 

 

五、基函数与基图像

 

 

 

 

 

 

到这里，应该有一定清晰的理解了。

六、傅里叶变换

傅里叶变换其实是酉变换的一个实际应用，上文提到的图像是由基图像进行线性组合的而得到的，傅里叶变换的思想和这个很近似。

傅里叶变换的详细东西，这里不再记述，很多博客、视频里都有讲傅里叶变换，下面谈谈应该要讲的东西。

二维离散傅里叶变换公式为：

u和v表示的频率，根据公式可知道在傅里叶频谱中，点(u,v)是与时域中的所有(x,y)点有关的。并且是某一种叠加，那到底是在叠加什么呢？下面是 我的理解，我也不知道对不对。

f(x,y)是在时域中随着x,y变换的信号，傅里叶变换中把f(x,y)看成是很多的不同频率的正弦波的叠加，这些正弦波也是随着(x,y)在变化，我们在求频率为u,v的频谱时，需要把频率为u,v的正弦波在每个x,y时刻给叠加起来。

然后我觉得这个说的蛮好的。

还有一些关于怎么看频谱，频谱的性质可以看https://blog.csdn.net/viatorsun/article/details/82387854。

还有说频谱中高频反应梯度大，低频反映梯度小，https://blog.csdn.net/ecnu18918079120/article/details/64440199

不知道为啥。