回文子序列和回文子串问题

一、【LeetCode 516】最长回文子序列

1. 问题描述

给定一个字符串s，找到其中最长的回文子序列。可以假设s的最大长度为1000。

示例 1:

输入: "bbbab"
输出: 4
一个可能的最长回文子序列为 "bbbb"。

示例 2:

输入: "cbbd"
输出: 2
一个可能的最长回文子序列为 "bb"。

2. 解题思路

一般涉及到子序列和最值问题，考察的基本上就是动态规划

这个问题中我们对 memo 数组的定义是： 在子串 s[i…j] 中，要求的最长回文子序列的长度为 memo[i][j]
根本取决于 s[i] 和 s[j] 这两个字符是否相等：
（1）若 s[i] = s[j]，那么它俩加上 s[i+1…j-1] 中的最⻓回⽂⼦序列就是 s[i…j] 的最⻓回⽂⼦序列memo[i][j] = memo[i+1][j-1] + 2（注意此处是加上2，而不是1，因为有 s[i] 和 s[j] 这两个字符）;
（2）若 s[i] != s[j]，说明他俩不可能同时出现在 s[i…j] 的最长回文子序列中，那么把他们分别加入 s[i+1…j-1] 中，看哪个子串产生的回文子序列更长即可memo[i][j] = max(memo[i+1][j], memo[i][j-1])。

根据 memo 数组的定义，我们求的是 memo[0][n-1]，也就是整个 s 的最长回文子序列。

• 首先确定边界情况，当 s 为空时，不存在回文子序列，返回0即可；
• 初始化 memo 为二维数组（n行n列）：memo = [[0 for j in range(n)] for i in range(n)]，先考虑特殊情况——若只有一个字符，显然最长回文子序列长度就是1：memo[i][j] = 1（i == j）；因为 i 要小于等于 j，所以对于 memo 二维数组中，i > j 的位置不存在子序列，初始化为0（最开始初始化 memo 时全部初始化为0即可）
• 接下来看一般位置， 因为是根据 memo[i+1][j-1] ，memo[i+1][j] ，memo[i][j-1] 这三个位置来计算 memo[i][j]，即已知一个格子左，下，左下角方向的值，计算该格子的值可以反向遍历，内循环是for j in range(i+1, n)，j 从 i+1开始，保证 j 永远比 i 大。最后返回memo[0][-1]即可。

3. 代码

class Solution:
    def longestPalindromeSubseq(self, s: str) -> int:
        if not s:
            return 0
        n = len(s) 
        memo = [[0 for j in range(n)] for i in range(n)]
        for i in range(n):
            memo[i][i] = 1
        for i in range(n-1, -1, -1):
            for j in range(i+1, n):
                if s[i] == s[j]:
                    memo[i][j] = memo[i+1][j-1] + 2
                else:
                    memo[i][j] = max(memo[i+1][j], memo[i][j-1])
        return memo[0][-1]

二、【LeetCode 647】回文子串

1. 题目描述

给定一个字符串，你的任务是计算这个字符串中有多少个回文子串。

具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被计为是不同的子串。

示例 1:

输入: "abc"
输出: 3
解释: 三个回文子串: "a", "b", "c".

示例 2:

输入: "aaa"
输出: 6
说明: 6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa".

注意: 输入的字符串长度不会超过1000。

2. 第一种方法——动态规划

子串和子序列的区别在于子串是连续的，而子序列不要求连续。

使用动态规划来进行解决：

• 定义一个memo数组：memo[i][j] 表示字符串 s 在[i…j]内的子串是否是一个回文串。memo是一个 bool 类型的二维数组，所有值全部初始化为False：memo = [[False for j in range(n)] for i in range(n)]
• 考虑状态转移：
  • 当只有一个字符时，比如a，肯定是一个回文串。
  • 当有两个字符时，如果这两个字符相等，比如aa，也是一个回文串。
  • 当有三个及以上字符时，比如 ababa 这个字符记作串1，去掉两头的字符a，也就是 bab 记作串2，可以看出只要串2是一个回文串，那么左右多出的那个字符也相等的串1必定也是回文串。即当s[i]==s[j]时，若 memo[i+1][j-1] 是一个回文串，那么 memo[i][j] 肯定也是一个回文串。
  • 所以s[i] == s[j] and (j - i < 2 or memo[i+1][j-1])里面，s[i] == s[j] 是必须的条件，j - i < 2是考虑一个或两个字符的情况；memo[i+1][j-1] 是考虑有三个字符以及以上字符的情况。若该条件为 True，则意味着 s 在[i…j]内的子串是一个回文串，可将 memo[i][j]置为True，然后将 res加一，统计回文子串的个数。
• 最后返回 res 即可。

此种写法是正向遍历，要保证 i < j。

class Solution:
    def countSubstrings(self, s: str) -> int:
        if not s:
            return 0
        n = len(s)
        memo = [[False for j in range(n)] for i in range(n)]
        res = 0
        for j in range(0, n):
            for i in range(0, j+1):
                if s[i] == s[j] and (j - i < 2 or memo[i+1][j-1]):
                    memo[i][j] = True
                    res += 1
        return res

此种写法是反向遍历，同516题一样，先对特殊情况（只有一个字符时：i==j）时进行了初始化：memo[i][i] = True（一个字符时肯定是回文串）；接着就是双重循环反向遍历，条件不变。

class Solution:
    def countSubstrings(self, s: str) -> int:
        if not s:
            return 0
        n = len(s)
        memo = [[False for j in range(n)] for i in range(n)]
        res = 0
        for i in range(n):
            memo[i][i] = True
            res += 1
        for i in range(n-1, -1, -1):
            for j in range(i+1, n):
                if s[i] == s[j] and (j - i < 2 or memo[i+1][j-1]):
                    memo[i][j] = True
                    res += 1
        return res

3. 第二种方法——中心扩展法

比如对一个字符串ababa，选择最中间的a作为中心点，往两边扩散，第一次扩散left指向的是b，right指向的也是b，所以是回文串，继续扩散，同理ababa也是回文串。

这是确定了一个中心点后的寻找的路径，然后我们只要寻找到所有的中心点，问题就解决了。

中心点一共有多少个呢？看起来像是和字符串长度相等，但如果是这样，上面的例子永远也搜不到 abab，以单个字符为中心点似乎永远不可能扩展到 abab 这样的四个字符，观察可知 abab 可由 ba 为中心点扩展得到。所以中心点不能只有单个字符构成，还要包括两个字符，所以最终的中心点有 2 * n - 1个，分别是n个单字符和 n - 1个双字符（n是字符串的长度）。

• 为什么有 2 * n - 1 个中心点？
  aba 有5个中心点，分别是 a、b、c、ab、ba
  abba 有7个中心点，分别是 a、b、b、a、ab、bb、ba
• 三个字符可以由一个字符扩展得到，四个字符可以由两个字符扩展得到，所以只需要单字符和双字符组成的中心点。
• left和right指针表示和中心点的关系；
  • 满足while循环条件时表示包括 left 指针和 right 指针在内的这个区间内的字符串是回文子串，接下来更新记录回文子串数目的变量 res，然后就可以向外扩展了（left 指针左移，right 指针右移）
• 最后返回 res 即可。

class Solution:
    def countSubstrings(self, s: str) -> int:
        if not s:
            return 0
        n = len(s)
        res = 0
        for center in range(0, 2*n-1):
            left = center // 2
            right = left + center % 2
            while left >= 0 and right < n and s[left] == s[right]:
                res += 1
                left -= 1
                right += 1
        return res

三、【LeetCode 5】最长回文子串

1. 题目描述

给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。

示例 1：

输入: "babad"
输出: "bab"
注意: "aba" 也是一个有效答案。

示例 2：

输入: "cbbd"
输出: "bb"

2. 第一种方法——动态规划

上一题【回文子串】解决了本题就很容易了，区别在于上一题是统计回文子串的数量，本题是找出最长的回文子串，只需要将统计回文子串数目的变量 res改成记录最长回文子串，每次得到了回文子串后就判断当前子串的长度是否大于 res 中已存的回文子串的长度：if len(s[i:j+1]) > len(res)，若是就更新 res 的值；若不是则继续循环判断。最后返回 res 即可。

class Solution:
    def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
        if not s:
            return ''
        n = len(s)
        memo = [[False for j in range(n)] for i in range(n)]
        res = ''
        for j in range(0, n):
            for i in range(0, j+1):
                if s[i] == s[j] and (j - i < 2 or memo[i+1][j-1]):
                    memo[i][j] = True
                    if len(s[i:j+1]) > len(res):
                        res = s[i:j+1]
        return res

3. 第二种方法——中心扩展法

与上一题【回文子串】的思路一模一样，需要改动的地方也跟动态规划一样，不再赘述。

class Solution:
    def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
        if not s:
            return ''
        n = len(s)
        res = ''
        for center in range(0, 2*n-1):
            left = center // 2
            right = left + center % 2
            while left >= 0 and right < n and s[left] == s[right]:
                if len(s[left:right+1]) > len(res):
                    res = s[left:right+1] 
                	left -= 1
                	right += 1
        return res