【leetcode】第5题：最长回文子串
目 录:
一、暴力解法
二、动态规划
三、中心扩展法
四、Manacher 算法
先说明几个概念：
1. 子串：小于等于原字符串长度，由原字符串中任意个连续字符组成的子序列；
2. 回文：关于中间字符对称的字符串，例如："ababa"（单核）、"abccba"（双核）；
3. 最长回文子串：回文子串中最长的子串。
一、暴力解法【时间复杂度：O(
)】
- 基本思路：遍历该字符串所有的子串，找出其中是回文子串且长度最长的那个。所以，我们可以倒着遍历该字符串，从最长的子串开始，这样只用找到第一个是回文字符串就可以了，它一定是原字符串最长的回文子串。
1、 从最长的子串开始，遍历该字符串的所有子串（时间复杂度为：O(n^2)）；
2、判断当前子串是否为回文串（时间复杂度为：O(n)）；
3、当前子串为回文时，则找到了原字符串的最长回文子串，结束遍历；否则，继续遍历，直到遍历完所有子串。
- 代码实现
public class LongestPalindrome_5 {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
String str = sc.next();
getLongestPalindrome1(str);
}
// 暴力解法
public static String getLongestPalindrome1(String str){
if(str.length() <= 1){
return str;
}
// 前两层循环是求字符串的所有子串
for(int i = str.length(); i > 0; i--){
for(int j = 0; j <= str.length() - i; j++){
String sub = str.substring(j, i + j);
int count = 0;
// 检验当前的子串是否为回文串
for(int k = 0; k < sub.length() / 2; k++){
// k是从0开始的，所以是sub.length-k-1
if(sub.charAt(k) == sub.charAt(sub.length() - k - 1)){
count++;
}
}
if(count == sub.length() / 2){
System.out.println(sub);
return sub;
}
}
}
return ""; // 没有
}
}
- 从分析和代码实现上，可以很明显的看出，暴力解法的时间复杂度是：O(n^3)，无论是笔试还是面试显然都是不行的。
二、动态规划【时间复杂度：O(
)】
回文字符串的子串也是回文，比如P[i, j]（表示以 i 开始，以 j 结束的子串）是回文字符串，那么P[i+1, j-1]也是回文字符串。这样最长回文子串就能分解成一系列子问题了。这样需要额外的空间O（N^2)，算法复杂度也是O(N^2)。
- 首先定义状态方程和转移方程：
P[i, j] = false：表示子串[i, j]不是回文串；P[i, j] = true：表示子串[i, j]是回文串。
P[i, i] = true：当且仅当P[i+1, j-1] = true && (s[i] == s[j]）否则p[i,j] =false;
public class LongestPalindrome_5 {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
String str = sc.next();
String subStr = getLongestPalindrome3(str);
System.out.println(subStr);
}
// 动态规划
public static String getLongestPalindrome2(String str){
if(str == null && str.length() <= 0){
return "";
}
int len = str.length();
int start = 0; // 记录字符串起始的位置
int maxLength = 1; // 记录回文串的最大长度
boolean dp[][] = new boolean[str.length()][str.length()];
// 长度为1和2的子串的初始化
for(int i = 0; i < len; i++){
// 初始化所有长度为1的子串
dp[i][i] = true;
// 初始化所有长度为2的子串
if(i < len - 1 && str.charAt(i) == str.charAt(i + 1)){
dp[i][i + 1] = true;
start = i;
maxLength = 2;
}
}
// 以字符串长度为1和2的子串为基础，推导长度：3~len 的子串的dp
for(int strlen = 3; strlen <= len; strlen++){
// 从头开始，遍历长度为strlen的子串，并判断它们是否为回文串
for(int i = 0; i <= len - strlen; i++){
int j = i + strlen - 1; // 子串结束位置的下标
if(dp[i + 1][j - 1] && str.charAt(i) == str.charAt(j)){
dp[i][j] = true;
// 更新最大回文子串长度为当前子串长度，因为子串长度是不断增加的，所以最后一个回文串肯定是最长的
maxLength = strlen;
start = i; // 记录回文串开始位置的下标
}
}
}
if(maxLength > 0){
return str.substring(start, start + maxLength);
}
return "";
}
}三、中心扩展法【时间复杂度：O()】
事实上，只需使用恒定的空间，我们就可以在 O(n^2) 的时间内解决这个问题。
我们观察到回文中心的两侧互为镜像。因此，回文可以从它的中心展开，并且只有 2n −1 个这样的中心。
你可能会问，为什么会是 2n - 1 个，而不是 n 个中心？原因在于所含字母数为偶数的回文的中心可以处于两字母之间（例如 {“abba”}的中心在两个{‘b’}之间）。【和在两个字符之间添加“#”是一个道理】
public class LongestPalindrome_5 {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
String str = sc.next();
String subStr = getLongestPalindrome3(str);
System.out.println(subStr);
}
// 中心扩展法
public static String getLongestPalindrome3(String str){
if(str == null && str.length() <= 0){
return "";
}
int maxLength = 1;
int start = 0;
// 类似于aba这种情况，以i为中心向两边扩展
for(int i = 0; i < str.length(); i++){
int j = i - 1;
int k = i + 1;
while((j >= 0 && k < str.length()) && str.charAt(j) == str.charAt(k)){
if(k - j + 1 > maxLength){
maxLength = k - j + 1;
start = j;
}
j--;
k++;
}
}
// 类似于abba这种情况，以i，i+1为中心向两边扩展
for(int i = 0; i < str.length(); i++){
int j = i;
int k = i + 1;
while((j >= 0 && k < str.length()) && str.charAt(j) == str.charAt(k)){
if(k - j + 1 > maxLength){
maxLength = k - j + 1;
start = j;
}
j--;
k++;
}
}
if(maxLength > 0){
return str.substring(start, start + maxLength);
}
return "";
}
}
- 可以看到上面代码非常长，可以发现主要就是奇回文和偶回文两种情况的处理，代码高度一致。可以精简下，这里贴出 leetcode 官方提供的代码。
- 其实对于笔试来说，通过最重要，还是推荐上面的代码，虽然长，但是思路比较清晰。
public class LongestPalindrome_5 {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
String str = sc.next();
String subStr = getLongestPalindrome4(str);
System.out.println(subStr);
}
// 中心扩展法：精简版
public static String getLongestPalindrome4(String str){
if(str == null || str.length() < 1){
return "";
}
int start = 0, end = 0;
for(int i = 0; i < str.length(); i++){
int len1 = expandAroundCenter(str, i, i); // 偶数回文
int len2 = expandAroundCenter(str, i, i + 1); // 奇数回文
int len = Math.max(len1,len2);
if(len > end - start){
start = i - (len - 1) / 2;
end = i + len / 2;
}
}
return str.substring(start, end + 1);
}
public static int expandAroundCenter(String str, int left, int right){
while(left >= 0 && right < str.length() && str.charAt(left) == str.charAt(right)){
left--;
right++;
}
// 算的是左右两边的中间的长度
return right - left - 1;
}
}
四、Manacher 算法
后续补上.......