集合论中的阿列夫数

在集合论中，阿列夫数，又称艾礼富数，是一连串超穷基数。其标记符号为 ℵ （由希伯来字母א‎(aleph)演变而来）加角标表示。

可数集（包括自然数）的势标记为{\displaystyle \aleph _{0}}，下一个较大的势为{\displaystyle \aleph _{1}}，再下一个是{\displaystyle \aleph _{2}}，以此类推。一直继续下来，便可以对任一序数 α 定义一个基数{\displaystyle \aleph _{\alpha }}。

这一概念来自于康托尔，他定义了势，并认识到无穷集合是可以有不同的势的。

阿列夫数与一般在代数与微积分中出现的无限 (∞) 不同。阿列夫数用来衡量集合的大小，而无限只是在极限的写法中出现，或是定义成扩展的实轴上的端点。某些阿列夫数会大于另一些阿列夫数，而无限只是无限而已。

 

目录

• 1构造性定义
• 2阿列夫1
  • 2.1数“阿列夫”

构造性定义

阿列夫数的直观定义并没有解释什么叫“下一个较大的势”，也没有证明是否存在“下一个较大的势”。即便承认对任意的基数都存在更大的基数，是否存在“下一个较大的势”使得这个基数和“下一个较大的基数”之间不再有其他的基数仍然是个问题。下面的构造型定义解决这个问题：[1]:28

• ℵ0定义从前，它是一个良序集ℕ的序数；
• 考虑良序集[1]:25按照某种同构关系[注 1]划出的等价类[1]:18[注 2]；
  • 如上定义的等价类有一个特点：可比较[1]:25，
• 设ℵa已定义且是一良序集的基数，考虑：
  1. 由于ℵa是某良序集的基数，这个良序集必存在于某个等价类中；一定还有其他基数为ℵa的良序集，这些良序集必将也存在于某个等价类中（可能与上面的同属同一个等价类，但不一定）。所有这些等价类[注 3]将做成一集，记为Z(ℵa)。
  2. Z(ℵa)也是良序集。[1]:27
  3. 定义ℵa+1:= card(Z(ℵa))，它是一个良序集的基数。

阿列夫1

{\displaystyle \aleph _{1}}是所有可数序数集合的势，称为 ω1或有时为Ω。这个ω1本身是一个比所有可数序数更大的序数，因此它为一个不可数集。

 

数“阿列夫”

在中国大陆，实数集的基数常被记为 c 或 ℵ，即 ℵ := ℶ₁，这样连续统假设就常常被表述为 ℵ = ℵ₁．阅读相关读物时应避免混淆。人们在学数学分析（微积分）时常常以为自己时常遇到的是阿列夫数，事实上他们遇到的是 “ℵ”或“c”，即角标为1的 ℶ 数。除非讨论集合论，否则阿列夫数将是最不常用的基数之一。

超限数

超限数是大于所有有限数（但不必为绝对无限）的基数或序数，分别叫做超穷基数（英语：transfinite cardinal number）和超穷序数（英语：transfinite ordinal number）。术语“超限”（transfinite）是康托尔提出的，他希望避免词语无限（infinite）和那些只不过不是有限（finite）的那些对象有关的某些暗含。当时其他的作者少有这些疑惑；现在被接受的用法是称超限基数或序数为无限的。但是术语“超限”仍在使用。

超穷序数可以确定超穷基数，并导出阿列夫数序列。

对于有限数，有两种方式考虑超限数，作为基数和作为序数。不像有限基数和序数，超限基数和超限序数定义了不同类别的数。

• 最小超限序数是ω。
• 第一个超限基数是aleph-0 {\displaystyle \aleph _{0}}，整数的无限集合的势。如果选择公理成立，下一个更高的基数是aleph-1 {\displaystyle \aleph _{1}}。如果不成立，则有很多不可比较于aleph-1并大于aleph-0的其他基数。但是在任何情况下，没有基数大于aleph-0并小于aleph-1。

连续统假设声称在aleph-0和连续统（实数的集合）的势之间没有中间基数：就是说，aleph-1是实数集合的势。已经在数学上证实了连续统假设不能被证明为真或假，由于不完备性的影响。

某些作者，比如Suppes、Rubin使用术语超限基数来称呼戴德金无限集合的势，在可以不等于无限基数的上下文中；就是说在不假定可数选择公理成立的上下文中。给定这个定义，下列是等价的：

• {\displaystyle \mathbf {m} }是超限基数。就是说有一个戴德金无限集合A使得A的势是{\displaystyle \mathbf {m} }。
• {\displaystyle \mathbf {m} +1=\mathbf {m} }。
• {\displaystyle \aleph _{0}\leq \mathbf {m} }。
• 有一个基数{\displaystyle \mathbf {n} }使得{\displaystyle \aleph _{0}+\mathbf {n} =\mathbf {m} }。
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