Leetcode 343：整数拆分（最详细的解法！！！）
给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。
示例 1:
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。
解题思路
这个问题很简单，可以通过递归解决。举个列子，对于正整数4，我们要知道将4拆分为哪几个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化，那我们只要知道3、2、1的乘积最大化分别是多少，然后从中选出最大值即可，以此类推下去即可。
class Solution:
def integerBreak(self, n):
"""
:type n: int
:rtype: int
"""
if n == 1:
return 1
result = -1
for i in range(1, n):
result = max(result, i*(n - i), i * self.integerBreak(n - i))
return result
很多人在写上面这个代码的时候会将
max(result, i*(n - i), i * self.integerBreak(n - i)) ==>
max(result, i * self.integerBreak(n - i))
写成下面的那种形式，关键问题在于没有理解函数的定义。integerBreak是将一个正整数拆分为至少两个正整数的和，也就是说i * self.integerBreak(n - i)至少是三个整数的积，那么我们在比较最大值的时候自然要将i*(n - i)给加上啦。
上面这种算法中存在着大量的重复运算（在哪里呢？）。我们可以通过记忆化搜索的方式来优化上面的问题。
class Solution:
def integerBreak(self, n):
"""
:type n: int
:rtype: int
"""
if n == 1:
return 1
mem = [-1 for i in range(n + 1)]
mem[1] = 1
for i in range(2, n + 1):
for j in range(1, i):
mem[i] = max(mem[i], j*(i - j), j*mem[i - j])
return mem[n]
实际上这个问题通过数学方法很快就可以解决。我们将一个整数拆分，往往这个拆分后的数中包含多个相同整数的话，那么这些数的乘积最大（均值不等式）
2^3 < 3^2
4^3 < 3^4 > 3^3^1
5^3 < 3^5 < 3^3^2
6^3 < 3^6 < 3^3^3
通过上面的例子你会发现这样的规律：想要乘积最大，那么一定要将3作为基底，并且<=4的余数不再进行拆分。为什么会这样呢？
我们将n拆分成 n x \frac {n}{x} xn个数值为x的整数，那么这些整数的乘积就是 x n / x x^{n/x} xn/x，我们现在的目标就是计算 m a x ( x n / x ) max(x^{n/x}) max(xn/x)。我们对这个函数求导，得到
- δ x n x δ x = n ∗ x n x − 2 ∗ ( 1 − l n ( x ) ) \frac{\delta{x^{\frac{n}{x}}}}{\delta x}=n*x^{\frac{n}{x} -2}*(1-ln(x)) δxδxxn=n∗xxn−2∗(1−ln(x))
当x=e的时候取最大值。所以我们这里可以取的整数就是2和3，但是2*2*2<3*3，所以就有了前面的结论。
基于上述的论点，我们可以写出这样的代码，非常的简洁。
class Solution:
def integerBreak(self, n):
"""
:type n: int
:rtype: int
"""
if n <= 3:
return n - 1
result = 1
while n > 4:
n -= 3
result *= 3
return n * result
这个问题同Leetcode 279:完全平方数（最详细解决方案！！！）一样，也可以通过最短路径算法解决。
我将该问题的其他语言版本添加到了我的GitHub Leetcode
如有问题，希望大家指出！！！