主成分分析在python上的实现

       主成分分析（PCA）是一种基于变量协方差矩阵对数据进行压缩降维、去噪的有效方法，PCA的思想是将n维特征映射到k维上（k

       主成分分析再说白点就是将多项指标转化为少数几项综合指标,用综合指标来解释多变量的方差- 协方差结构。综合指标即为主成分。所得出的少数几个主成分要尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此不相关，使得主成分比原始变量具有某些更优越的性能（主成分必须保留原始变量90%以上的信息），从而达到简化系统结构，抓住问题实质的目的综合指标即为主成分。

       协方差（Covariance）在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。协方差表示的是两个变量的总体的误差，这与只表示一个变量误差的方差不同。 如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的平均值，另外一个也大于自身的平均值，那么两个变量之间的协方差就是正值。 如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。

案例

       以sklearn自带的葡萄酒数据集为例，对13个特征进行降维处理。

from sklearn import datasets
from sklearn.decomposition import PCA
from matplotlib import pyplot as plt
wine=datasets.load_wine()
x=wine.data
y=wine.target
target_names=wine.target_names
pca = PCA(n_components=5)
X_p= pca.fit_transform(x)#各成份数据
feature_vector=pca.components_ # 降维后特征向量, 
feature_variance=pca.explained_variance_ # 特征值的方差
feature_variance_ratio=pca.explained_variance_ratio_ #特征值方差贡献率
score=pca.score(x) # 样本的平均log相似性值
score_samples=pca.score_samples(x) # 每个样本的log相似性值
singular_values_=pca.singular_values_
covariance=pca.get_covariance() #计算并返回协方差矩阵
precision=pca.get_precision() #计算数据精度矩阵
X=pca.inverse_transform(X_p) #还原数据到原来空间

#由方差贡献率可知取两个主成分，进行二维散点图绘制
c=['r','g','b']
plt.figure(1)
for i in range(max(y)+1):
    data=X_p[y==i]
    plt.scatter(data[:, 0], data[:, 1],c=c[i],label=target_names[i])   
    plt.legend()
plt.xlabel('PC1')
plt.ylabel('PC2')
plt.title('PCA of wine')

结果分析 

       前两个主成分累计贡献达到99.97%，因此用两个主成分（特征）来代表13个特征，两个主成分对葡萄酒的识别效果如下散点图。

                                                              

                                                        

PCA算法优点

       （1）使得数据集更易使用；

       （2）降低算法的计算开销；

       （3）去除噪声；

       （4）使得结果容易理解；

       （5）完全无参数限制。

PCA算法缺点

       （1）如果用户对观测对象有一定的先验知识，掌握了数据的一些特征，却无法通过参数化等方法对处理过程进行干预，可能会得不到预期的效果，效率也不高；

       （2） 特征值分解有一些局限性，比如变换的矩阵必须是方阵；

       （3） 在非高斯分布情况下，PCA方法得出的主元可能并不是最优的。

PCA算法应用

       （1）高维数据集的探索与可视化。

       （2）数据压缩。

       （3）数据预处理。

       （4）图象、语音、通信的分析处理。

       （5）降维(最主要)，去除数据冗余与噪声。

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