一个例子搞清楚（先验分布/后验分布/似然估计）

一个例子搞清楚（先验分布/后验分布/似然估计）

preface：

• 无论是《通信原理》、《信息论》、《信道编码》还是《概率与统计理论》，或者在现在流行的《模式识别》和《Machine Learning》中总会遇到这么几个概念：先验分布/后验分布/似然估计。

• 如果大家不熟悉这几个词，相信大家熟知贝叶斯公式，该公式涉及到了以上几个概念。但是学完本科课程，也会算题，就是在实际情境中总感觉理不清这几个概念的关系，最近上课老被老师讲的先验、后验搞得晕头转向。因此，如果您和我遇到类似的囧事，这篇文章很适合您。

• 声明：本文主要内容修改整理于知乎回答¹。

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本文目标：

• 一个隔壁小哥的故事
• 故事中的因果和三个概念
• 贝叶斯公式的角色
• 最大似然估计和贝叶斯的关系

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隔壁小哥的故事

隔壁小哥要去15公里外的一个公园，他可以选择步行走路，骑自行车或者开辆车，然后通过其中一种方式花了一段时间到达公园。

首先在这个事里边，大家不要关注隔壁小哥去干嘛，也许去送外卖吧：) 。言归正传，这件事中采用哪种交通方式是因，花了多长时间是果。俗话说瓜熟蒂落，皆是因果；因果循环，报应不爽。要理解即将提到的概念，何为因何为果先要搞清楚。

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三个概念之后验（知果求因）

隔壁小哥去公园的故事才刚刚开始，假设在这里您已经牢记住这个故事的因和果。故事仍然要接着讲，顺便带出我们的概念。

假设我们已经知道小哥花了1个小时到了公园，那么你猜他是怎么去的（走路or坐车or自行车），事实上我们不能百分百确定他的交通方式，我们正常人的思路是他很大可能是骑车过去的，当然也不排除开车过去却由于堵车严重花了很长时间，当然还有可能他是个赛跑的运动员自己一路飞跑过去的。

假设已经知道小哥花了3个小时才到公园，这个时候我们猜的时候会觉得他很大可能是静静地走路过去的。但是假设已经知道小哥只花了20分钟才到公园，那么正常人会觉得他最大可能是开车奔驰而去。

这种预先已知结果（路上花的时间），然后根据结果估计（猜）原因（交通方式）的概率分布即 后验概率。

例子问题公式化：
$$P(交通方式|花费的时间)$$
修改成一般的公式：
$$P(因|果)$$
公式正规化：
$$P(\theta |x)$$
（公式中的 “$|$”读作 $given$，即给定的意思。如$P(A|B)$ 即A given B 的概率）

[解释]：看到这里估计大家很奇怪为什么要用 $x$ 、 $\theta$ 这样的字母表示，而不是熟悉的 $x$ 、 $y$ 。这样表示自然是有原因的。在这里大家只需要先暂时记住 $\theta$ 代表因、 $x$ 代表果，后面的贝叶斯我们将会具体介绍这些字母的含义。

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三个概念之先验概率（由历史求因）

换个情景，我们不再考虑隔壁小哥去公园的结果了。假设隔壁小哥还没去，大早上刚起床，打算吃完早饭再去。

假设我们比较了解小哥的个人习惯，别管怎么了解的：) 。小哥是个健身爱好者就喜欢跑步运动，这个时候我们可以猜测他更可能倾向于走路过去。

当然我的隔壁小哥是个大死肥宅，懒得要命！这个时候我们猜测他更可能倾向于坐车，连骑自行车的可能性都不大。

这个情景中隔壁小哥的交通工具选择与花费时间不再相关。因为我们是在结果发生前就开始猜的，根据历史规律确定原因 （交通方式）的概率分布即 先验概率。

例子问题公式化：
$$P(交通方式)$$
一般化：
$$P(因)$$
正规化：
$$P(\theta )$$

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三个概念之似然估计（由因求果）

换个情景，我们先重新考虑隔壁小哥去公园的交通方式。

假设隔壁小哥步行走路去，15公里的路到公园，一般情况下小哥大概要用2个多小时，当然很小的可能性是小哥是飞毛腿，跑步过去用了1个小时左右，极为小的可能是小哥是隐藏的高手，10分钟就轻功跑酷到了。

小哥决定开车，到公园半个小时是非常可能的，非常小的概率是小哥因为途径的路上有车祸堵了3个小时。

这种先定下来原因，根据原因来估计结果的概率分布即 似然估计。根据原因来统计各种可能结果的概率即似然函数。

似然函数问题公式化：
$$P(时间|交通方式)$$
一般化：
$$P(果|因)$$
正规化：
$$P(x|\theta )$$

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贝叶斯公式

我们熟知的贝叶斯公式是这样的：
$$P(A|B)=\frac{P(B|A)\ast P(A)}{P(B)}$$
但在这里我们采用如下形式：
$$P(\theta |x)=\frac{P(x|\theta )\ast P(\theta )}{P(x)}$$
$$后验概率=\frac{似然估计\ast 先验概率}{evidence}$$
[注]：$P(x)$ 即 $evidence$。隔壁小哥去公园很多次，忽略交通方式是什么，只统计每次到达公园的时间 $x$，于是得到了一组时间的概率分布。这种不考虑原因，只看结果的概率分布即 $evidence$，它也称为样本发生的概率分布的证据。

$evidence$ 在故事中如下表示：
$$P(时间)$$ 或
$$P(果)$$

知乎回答原文参考 这儿.

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深入贝叶斯推断

在这里相信大多数人已经很好地理解了先验概率，后验概率，证据以及和似然估计的概念了。接下来我们将接着讲故事，隔壁小哥到公园以后去做一个游戏，游戏内容如下：
在小哥面前有两个一模一样的宝箱，一号箱子里面有3颗水果糖和1颗巧克力糖；二号箱子里面有2颗水果糖和2颗巧克力糖。
(1) 现在小哥将随机选择一个箱子，从中摸出一颗糖。请问小哥选择一号箱子的概率有多大？
(2) 现在小哥将随机选择一个箱子，从中摸出一颗糖发现是水果糖。请问这颗水果糖来自一号箱子的概率有多大？

暂且不去算这道题，在这个看似无聊的事情中，从哪个箱子去抓是 因；抓到的糖是什么糖为 结果。再去回顾我们之前的贝叶斯公式：
$$P(\theta |x)=\frac{P(x|\theta )\ast P(\theta )}{P(x)}$$
[解释]：其中 $x$ 是观测得到的结果数据。$P(x)$是观测结果数据的概率分布。如下表：

$x$	水果糖	巧克力糖
$P(x)$	5/8	3/8

[解释]：其中 $\theta$ 是决定观测结果数据分布的参数。$P(\theta )$ 是先验概率，没有观测数据的支持下 $\theta$ 发生的概率。如下表：

$\theta$	一号箱	二号箱
$P(\theta )$	1/2	1/2

[解释]：$P(\theta |x)$ 是后验概率，有观测数据的支持下 $\theta$ 发生的概率。在上面的故事中第二问是小哥随机选择一个箱子，从中摸出一颗糖发现是水果糖。这颗水果糖来自一号箱子的概率就是后验概率：
$$P(\theta =一号箱|x=水果糖)$$
[解释]：$P(x|\theta )$ 是似然函数，给定某参数 $\theta$ 时结果数据的概率分布。

其中，$P(\theta =一号箱)$ 就是先验概率，根据贝叶斯公式，需求证据 $P(x=水果糖)$ 和似然函数 $P(x=水果糖|\theta =一号箱)$ 。
$$P(x=水果糖)=\sum _{i}P(x=水果糖|\theta =i号箱)P(\theta =i)$$

我们再考虑上面的计算：
(1) 现在小哥将随机选择一个箱子，从中摸出一颗糖。请问小哥选择一号箱子的概率。根据明显的先验知识我们就可以知道
$$P(\theta =一号箱)=1/2$$
(2) 现在小哥将随机选择一个箱子，从中摸出一颗糖发现是水果糖。请问这颗水果糖来自一号箱子的概率。后验概率为
$$P(\theta =1|x=水果)=\frac{P(x=水果|\theta =1)\ast P(\theta =1)}{P(x=水果)}$$
$$P(\theta =1|x=水果)=\frac{P(x=水果|\theta =1)\ast P(\theta =1)}{{\sum }_{i}P(x=水果糖|\theta =i号箱)P(\theta =i)}$$
$$P(\theta =1|x=水果)=\frac{(3/4)\ast (1/2)}{(3/4)\ast (1/2)+(2/4)\ast (1/2)}$$
$$P(\theta =1|x=水果)=3/5$$
我们为什么要在这里连续计算两道题呢，并不是为了单纯的计算，而是去比较计算结果得到贝叶斯推断的意义。
大家可以看到：没有做实验之前我们推断 $P(\theta =一号箱)=1/2$ 这个先验概率；而有了参考结果数据“从中摸出一颗糖发现是水果糖“，我们便可以得到 $P(\theta =一号箱|x=水果糖)=3/5$ 这个后验概率。也就是说推断是一号箱的概率，在取出水果糖前和后，【$\theta =一号箱$ 】事件的可能性得到了增强（$1/2<3/5$）。

我们可以用小哥在公园的第二个奇遇来解释【贝叶斯估计】的意义：
小哥在公园里玩飞镖，附近有个陌生人说他是一个专业的飞镖玩家，假设你现在是小哥，你可能最开始会假设这家伙在开玩笑忽悠我吧。
首先你对这个人几乎什么都不了解，但遇到一个真正的专业飞镖玩家的概率是很小的。 因为澳大利亚的专业飞镖玩家也不过大约15个。
如果这个陌生人为了证明自己，开始扔飞镖并且第一次正中靶心，但这个数据可能还是不能令你非常信服，因为你觉得这可能只是运气。
但如果这个人连续十次都正中靶心，多个观测样本让你会倾向于接受他的专业说法。
在这件事当中，你对【陌生人是专业玩家】的先验置信度就被累积的实验数据所覆盖而增强变大，贝叶斯定理起作用了。

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MAP/ML/贝叶斯估计

给定一些数据样本 $x$，假定我们知道样本是从某一种分布中随机取出的，但我们不知道这个分布具体的参数 $\theta$。

• 最大似然估计（ML，Maximum Likelihood）可以估计模型的参数。其目标是找出一组参数 $\theta$，使得模型产生出观测数据 $x$ 的概率最大：

$$\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}P(x|\theta )$$

• 假如这个参数有一个先验概率，那么参数该怎么估计呢？这就是MAP要考虑的问题。 最大后验估计（MAP－Maxaposterior）。MAP优化的是一个后验概率，即给定了观测值后使概率最大：

$$\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}P(\theta |x)=\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\frac{P(x|\theta )\ast P(\theta )}{P(x)}$$
因为给定样本 $x$ 后， $p(x)$ 会在 $\theta$ 空间上为一个定值，和 $\theta$的大小没有关系，所以可以省略分母 $p(x)$。
可化简为：
$$\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}P(\theta |x)=\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}P(x|\theta )\ast P(\theta )$$
即为：
$$Posterior\propto (Likelihood\ast Prior)$$
$P(x)$ 相当于是一个归一化项，整个公式就表示为：后验概率 正比于 先验概率 $\ast$ 似然函数。

• 前两种都是假设参数是个确定值，但贝叶斯估计假设参数是个随机数。
  贝叶斯估计，假定把待估计的参数看成是符合某种先验概率分布的随机变量，而不是确定数值。在样本分布上，计算参数所有可能的情况，并通过计算参数的期望，得到后验概率密度。

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学习和科研是一件枯燥乏闷的事情，也常会遇到令自己感到难受和不公的事情。在这里希望大家有一颗平常心，但行好事，莫问前程！

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贝叶斯估计公式推导参考 这儿.

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1. https://www.zhihu.com/question/24261751/answer/158547500
2. http://www.cnblogs.com/xueliangliu/archive/2012/08/02/2962161.html

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1. 这里是 脚注 的 内容. ↩︎