数字图像处理基础：频率域滤波（冈萨雷斯第三版数字图像处理第4章）

前言

在第3章中对空间域滤波做了重点的研究与介绍，例如直方图均衡、中值滤波、均值滤波等等，但如果不了解在图像滤波中如何应用傅里叶变换和频率域的基本知识，要彻底理解这一领域是不太可能的。即使读者不是一位信号处理穿甲，也能深刻理解这些主题，关键在于要关注基本原理及它们与数字图像处理之间的关系。本章重点阐述傅里叶变换的变换过程及原理，并强调图像特征与用于表示这些特征的数学工具之间的联系，介绍了在基本的图像滤波中如何应用傅里叶变换。

背景

法国数学家傅里叶指出，任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦之和的形式，每个正弦项/或余弦项都乘以不同的系数（现在成为傅里叶级数）。

基本概念

欧拉公式：

傅里叶级数

傅里叶变换与反变换

卷积定理

f(t)★h(t)=H(μ)F(μ）
f(t)h(t)=H(μ)★F(μ）
其中H和F函数是f和h的傅里叶变换

二维离散傅里叶变换及其反变换

二维离散傅里叶变换的一些性质

空间和频率间隔之间的关系

频率域样本间的间隔与空间样本间的间距及样本数成反比。

平移和旋转

1、f(x,y)的平移不影响F(u,v)的幅度（谱）。
2、若f(x,y)旋转θ角度，则F(u,v)也旋转相同的角度，反之亦然。

周期性

对称性

傅里叶谱和相角

傅因为二维离散傅里叶变换通常是复函数，因此傅里叶的谱和相角分别对应着复函数的幅值和相位

频率域滤波基础

频率域滤波总结：
1、给定一幅大小为M×N的输入图像f(x,y)，得到填充参数P和Q，通常选择P=2M和Q=2N
2、对f(x,y)添加必要数量的0，形成大小为P×Q的填充图像fp(x,y)
3、用（-1）^(x+y)乘以fp(x,y)，移到其变换中心。
4、计算步骤3中图像的离散傅里叶变换（DFT），得到F(u,v)
5、生成一个滤波函数H(u,v),其大小为P×Q，中心在图像中心处。用阵列相乘形成乘积
G(u,v)=H(u,v)F(u,v)
6、得到处理后的图像：进行傅里叶逆变换，且只选择实部，得到gp(x,y)
7、从gp(x,y)的左上象限处提取M×N区域，得到最终处理结果g(x,y)。

使用频率域滤波器平滑图像

这一部分主要介绍频率域中的各种滤波技术，首先是介绍低通滤波器，低通滤波器主要实现对图像进行模糊，主要介绍三种类型的低通滤波器：理想滤波器/巴特沃斯低通滤波器和高斯低通滤波。高通滤波器主要是实现对图像的锐化过程，突出边缘特征。

理想低通滤波器（ILPF）

其中，D0表示通带的半径。D(u,v)的计算方式也就是两点间的距离，很简单就能得到。
一个理想低通滤波器变换函数的透视图如下：

以图像显示如下图：

滤波结果如下：
原图：

滤波之后的图片：

可以看到在处理之后的图片中出现了振铃特征（表现为图像灰度剧烈变化的领域处出现振荡现象）。

巴特沃斯低通滤波器（BLPF）

同样的，D0表示通带的半径，n表示的是巴特沃斯滤波器的次数。随着次数的增加，振铃现象会越来越明显。
透视图和显示为图像的结果如下：

可以明显的看到在黑色白色的边缘处过渡比较平缓，表现在透视图中0和1的过渡处也是平滑的。
滤波结果如下：

结论：在图中没有可见的振铃效应，应用较广泛。

高斯低通滤波器（GLPF）

高斯函数如下：

D0表示通带的半径。高斯滤波器的过度特性非常平坦，因此是不会产生振铃现象的。
传递函数的透视图如下（呈高斯分布）：

显示为图像：

滤波结果：

结论：高斯滤波同样没有出现明显的振铃效应。

使用频率域滤波器锐化图像

理想高通滤波器、巴特沃斯高通滤波器、高斯高通滤波器与模糊图像的低通滤波器恰恰相反，不赘述，如有疑问，查看课本P179.

总结

本次学习主要学习了傅里叶变换及其在频率域滤波的应用，重点在于模糊图像和锐化图像过程中所用到的低通和高通滤波器。