SciPy interpolate

官方文档：/tutorial/interpolate

插值，即依据一系列点 $(x,y)$ 通过一定的算法找到一个合适的函数来逼近这些点，反映出这些点的走势规律。当拟合出插值函数后便可用这个插值函数计算其他 $x$ 对应的的 $y$ 值，这就是插值的意义所在。

interpolate.interp1d

官方文档 ：scipy.interpolate.interp1d

语法：

scipy.interpolate.interp1d(x, y, kind='linear', axis=-1, copy=True, bounds_error=None, fill_value=nan, assume_sorted=False)

其中，x 是一维数据；y 是 N 维数据且 y 在插值的方向轴上长度必须和 x 相等；kind 指定了插值类型（linear，nearest，zero，slinear，quadratic，cubic，previous，next），其中 zero，slinear，quadratic 和 cubic 指定了零、一、二、三阶样条插值；previous 和 next 仅仅返回当前点的前一个/后一个值。默认为 linear 线性插值。

from scipy.interpolate import interp1d

x = np.linspace(0, 10, num=11, endpoint=True)
y = np.cos(-x**2/9.0)
f = interp1d(x, y)
f2 = interp1d(x, y, kind='cubic')

xnew = np.linspace(0, 10, num=41, endpoint=True)
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(x, y, 'o', xnew, f(xnew), '-', xnew, f2(xnew), '--')
plt.legend(['data', 'linear', 'cubic'], loc='best')
plt.show()

kind='linear(默认)'：使用一次函数插值 $f(x)=ax+b$
kind='cubic'：使用三次函数插值 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

interpolate.interp2d

官方文档 ：scipy.interpolate.interp2d

Spline interpolation 样条插值

样条插值需要两个基本步骤：

1. 计算曲线的样条表示
2. 在所需的点对样条曲线求值

为了找到样条曲线表示，有两种不同的方法来表示曲线并获得（平滑）样条系数：直接法 和 参数法。

直接法： 用函数 splrep 求二维平面上曲线的样条表示。前两个是必要参数，提供了曲线上点的 x、y 坐标，函数返回值为三元组 $(t,c,k)$，$t$ 为结点，$c$ 为系数，$k$ 为样条顺序（默认为三次），可以通过输入参数 k 进行更改。

对于 N 维空间的曲线，函数 splprep 可以参数化地定义曲线。该函数第一个为必要参数，该输入为 N 维数组列表，表示了在 N 维空间中的曲线。数组长度是曲线上点的数目。函数返回值为 三元组 $(t,c,k)$ 和变量 $u$

举例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import interpolate

# Cubic-spline
x = np.arange(0, 2*np.pi+np.pi/4, 2*np.pi/8)
y = np.sin(x)
tck = interpolate.splrep(x, y, s=0)
xnew = np.arange(0, 2*np.pi, np.pi/50)
ynew = interpolate.splev(xnew, tck, der=0)

plt.figure()
plt.plot(x, y, 'x', xnew, ynew, xnew, np.sin(xnew), x, y, 'b')
plt.legend(['Linear', 'Cubic Spline', 'True'])
plt.axis([-0.05, 6.33, -1.05, 1.05])
plt.title('Cubic-spline interpolation')
plt.show()

x 和 y 是给定的一些坐标点，通过 splrep 函数计算出 B-spline 曲线的参数，再将该参数传递给 splev 函数计算出各个取样点 xnew 的插值结果。

• $(x,y)$：实际给定的坐标点，表示为图中的 x 符号
• $(xnew,ynew)$：xnew 是重新取的一系列点的横坐标，ynew 是根据前面得出的插值参数 tck，得到的一系列点对应的纵坐标值，它们共同构成了插值后的曲线点
• $(xnew,sin(xnew))$：实际 xnew 应该对应的 y 值，相当于 ground-truth（表示为图中绿色曲线）

1. interpolate.splrep

官方文档 ：scipy.interpolate.splrep

作用： 求取一维曲线的 B-spline 插值

给定一组数据点 $(x[i]，y[i])$，确定在区间 $xb\le x\le xe$ 上 $k$ 次的光滑样条逼近。

语法：

scipy.interpolate.splrep(x, y, w=None, xb=None, xe=None, k=3, task=0, s=None, t=None, full_output=0, per=0, quiet=1)

其中，x 和 y 是点的横纵坐标，xb 和 xe 是间隔，k 为样条拟合度，建议使用三次样条（cubic splines），通常 $1\le k\le 5$

# splrep 应用
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.interpolate import splev, splrep
x = np.linspace(0, 10, 10)
y = np.sin(x)
spl = splrep(x, y)
x2 = np.linspace(0, 10, 200)
y2 = splev(x2, spl)
plt.plot(x, y, 'o', x2, y2)
plt.show()

2. interpolate.splprep

官方文档 ：scipy.interpolate.splprep

语法：

scipy.interpolate.splprep(x, w=None, u=None, ub=None, ue=None, k=3, task=0, s=None, t=None, full_output=0, nest=None, per=0, quiet=1)

作用： 求取 N 维曲线的 B-spline 插值

# 举例
phi = np.linspace(0, 2.*np.pi, 40)
r = 0.5 + np.cos(phi)         # polar coords
x, y = r * np.cos(phi), r * np.sin(phi)    # convert to cartesian

from scipy.interpolate import splprep, splev
tck, u = splprep([x, y], s=0)
new_points = splev(u, tck)

import matplotlib.pyplot as plt
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, y, 'ro')
ax.plot(new_points[0], new_points[1], 'r-')
plt.show()

x：列表类型 [x,y]，x 和 y 分别是表示曲线上坐标点的横纵坐标
w：数组类型，长度与 x[0] 相同，默认为 ones(len(x[0]))
k：spline 等级，推荐使用 Cubic splines（k=3），默认为 3
s：float 类型，平滑条件，较大的 s 意味着曲线比较光滑，建议 s 的取值在 $(m-sqrt(2\ast m),m+sqrt(2\ast m))$ 范围内

下图中，$(x,y)$ 是实际定义的坐标点，表示为红色圆点；通过 splprep 函数拟合 x，y，得到拟合参数 tck 和 u，得到新的拟合曲线 new_points