插值方法： 拉格朗日插值--逐步插值的自适应算法

插值方法： 拉格朗日插值--逐步插值的自适应算法

1.问题描述

所谓插值，就是设法利用已给数据表求出给定点x的函数值y.表中的数据点

称为插值节点，所要插值的点x称插值点。

插值计算的目的在于，通过尽可能简便的方法，利用所给数据表加工出插值点x上具有足够精度的插值结果y.

在这种意义，插值过程是个数据加工的过程。

2.理论与方法

Largrange 插值，回顾我们之前的多项式插值

多项式的系数与所给的数据点并没有直接的联系，所以我们考虑增加一个多项式的基函数会不会更好，例如，这里

这样一个表达式是很容易进行操作的，对于不同点或插值的公式。

这样一个多项式基函数就是通过Largrange插值构造的，对于n阶多项式满足

给出数据点在xi处的值yi,有唯一的插值多项式

此外，p的最高阶为n,满足插值条件，因为

Divided differences and Newton’s form

We have seen thestandard monomial basis , This has led to a relativelyinferior procedure for constructing p= but an easy procedure for evaluating   at a given argument x , On the other hand，with the Lagrangepolynomial basis

The construction stage is easy, but the evaluation of  is relatively involved conceptually. TheNewton polynomial basis can be viewed as a useful compromise: we set

                                           

The discussion that follows illustrates the merits of thischoice

3.算法设计

1.Lagrange插值

根据给定的数据表(xi,yi),i=0,1,...,n及插值点x,根据公式求得插值结果y

为了计算的简化，可以先计算全部x与的差值和，再进行带入

2. 逐步插值的自适应算法

在实际计算时可以这样设计计算流程。依与插值点x的距离，事先由近及远顺序排列插值节点x0,x1,...,xn然后逐行生成逐步插值表，每增添一行引进一个新的节点，这一过程直到相邻的两个对角线元素的偏差|Yi,i+1 - Yi-1,i|满足精度要求为止。这就是逐步插值的自适应法。

计算程序：

依与插值点x的距离，事先由近及远地顺序排列插值节点x0,x1,...,xn

逐行生成插值表 对 i=0,1,...,n 计算

检查计算误差 对给定精度e，当|Yi,i+1 - Yi-1,i|< e计算终止，并输出Yi,i+1作为插值结果。

自然停机 当i=n时输出Yn-1,n作为插值结果。

4.案例分析

Example1:

The population in millions of the United States from 1920 to2000 can be tabulated as following

	Date	1920	1930	1940	1950	1960	1970	1980	1990	2000
Population		106.46	123.08	132.12	152.27	180.67	205.05	227.23	249.46	281.42

using first-, second-through senventh-order interpolating polynomials to predict the population in2000 based on the most recent data. 

拉格朗日多项式：

从最终结果可以看出，使用拉格朗日插值法的误差较大，在5阶时预测的结果最接近实际情况，但仍存在偏差。

5.代码

void _3()
{
	double p[8];
	double x[8] = { 1920,1930,1940,1950,1960,1970,1980,1990 };
	double y[8] = { 106.46,123.08,132.12,152.27,180.67,205.05,227.23,249.46 };
	double w[8][8], q[8];
	for (int i = 1; i < 8; i++)
	{
		for (int j = 0; j <= i; j++)
		{
			w[i][j] = 1;
			for (int k = 0; k <= i; k++)
			{
				if (j != k) w[i][j] *= (x[j] - x[k]);
			}
			w[i][j] = 1 / w[i][j];
			//		cout << w[i][j] << endl;
		}
		//	cout << endl;
	}
	//cout << endl;
	double xx = 2000;
	for (int i = 1; i < 8; i++)
	{
		q[i] = 1;
		for (int j = 0; j <= i; j++)
		{
			q[i] *= (xx - x[j]);
		}
		//		cout << q[i] << endl;
	}
	//cout << endl;
	for (int i = 1; i < 8; i++)
	{
		double temp = 0;
		for (int j = 0; j <= i; j++)
		{
			temp += (w[i][j] * y[j]) / (xx - x[j]);
		}
		p[i] = q[i] * temp;
		cout << setw(2) << i << "阶插值结果： " << p[i] << endl;
	}
}

End