Newton法(牛顿法 Newton Method)

平时经常看到牛顿法怎样怎样,一直不得要领,今天下午查了一下维基百科,写写我的认识,很多地方是直观理解,并没有严谨的证明。在我看来,牛顿法至少有两个应用方向,1、求方程的根,2、最优化。牛顿法涉及到方程求导,下面的讨论均是在连续可微的前提下讨论。

 

1、求解方程。

并不是所有的方程都有求根公式,或者求根公式很复杂,导致求解困难。利用牛顿法,可以迭代求解。

原理是利用泰勒公式,在x0处展开,且展开到一阶,即f(x) = f(x0)+(x-x0)f'(x0)

求解方程f(x)=0,即f(x0)+(x-x0)*f'(x0)=0,求解x = x1=x0-f(x0)/f'(x0),因为这是利用泰勒公式的一阶展开,f(x) = f(x0)+(x-x0)f'(x0)处并不是完全相等,而是近似相等,这里求得的x1并不能让f(x)=0,只能说f(x1)的值比f(x0)更接近f(x)=0,于是乎,迭代求解的想法就很自然了,可以进而推出x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f'(x(n)),通过迭代,这个式子必然在f(x*)=0的时候收敛。整个过程如下图:

 

2、牛顿法用于最优化

在最优化的问题中,线性最优化至少可以使用单纯行法求解,但对于非线性优化问题,牛顿法提供了一种求解的办法。假设任务是优化一个目标函数f,求函数f的极大极小问题,可以转化为求解函数f的导数f'=0的问题,这样求可以把优化问题看成方程求解问题(f'=0)。剩下的问题就和第一部分提到的牛顿法求解很相似了。

这次为了求解f'=0的根,把f(x)的泰勒展开,展开到2阶形式:

这个式子是成立的,当且仅当 Δx 无线趋近于0。此时上式等价与:

求解:

得出迭代公式:

一般认为牛顿法可以利用到曲线本身的信息,比梯度下降法更容易收敛(迭代更少次数),如下图是一个最小化一个目标方程的例子,红色曲线是利用牛顿法迭代求解,绿色曲线是利用梯度下降法求解。

在上面讨论的是2维情况,高维情况的牛顿迭代公式是:

其中H是hessian矩阵,定义为:

 

高维情况依然可以用牛顿迭代求解,但是问题是Hessian矩阵引入的复杂性,使得牛顿迭代求解的难度大大增加,但是已经有了解决这个问题的办法就是Quasi-Newton methond,不再直接计算hessian矩阵,而是每一步的时候使用梯度向量更新hessian矩阵的近似。

   1、牛顿法应用范围

                         牛顿法主要有两个应用方向:1、目标函数最优化求解。例:已知 f(x)的表达形式,g(x)=\min\left\|{f(x)}\right\|,求 ming(x),及g(x)取最小值时的 x ?,即

                                                          由于||f(x)||通常为误差的二范数,此时这个模型也称为最小二乘模型,即\min\{{f^2}(x)\}

                                                      2、方程的求解(根)。例:求方程的解:g(x) = 0,求 x ?

                    这两个应用方面都主要是针对g(x)为非线性函数的情况。2中,如果g(x)为线性情况下的求解通常使用最小二乘法求解。

                         牛顿法的核心思想是对函数进行泰勒展开。

           2、牛顿法用于方程求解

                    对f(x)进行一阶泰勒公式展开:

                                              g(x){\approx}g({x_k})+g'({x_k})(x-{x_k})   (1)

                    此时,将非线性方程 g(x) = 0 近似为线性方程:

                                              g({x_k})+g'({x_k})(x-{x_k})=0   (2)

                    若 f’(x) != 0,则下一次迭代解为:

                                              {x_{k+1}}={x_k}-\frac{1}{{g'({x_k})}}g({x_k})      (3)

                    牛顿迭代示意图(因此Newton迭代法也称为切线法):

                                          Newton法(牛顿法 Newton Method)_第1张图片

          3、牛顿法用于函数最优化求解

                     对f(x)进行二阶泰勒公式展开:

                                            g(x){\approx}g({x_k})+g'({x_k})(x-{x_k})+\frac{1}{2}g''({x_k}){(x-{x_k})^2}    (4)

                     此时,将非线性优化问题 min f(x) 近似为为二次函数的最优化求解问题:

                                            \min\{g({x_k})+g'({x_k})(x-{x_k})+\frac{1}{2}g''({x_k}){(x-{x_k})^2}\}    (5)

                     对于(5)式的求解,即二次函数(抛物线函数)求最小值,对(5)式中的函数求导:

                                            g'({x_k})+g''({x_k})(x-{x_k})=0    (6)

                                            \Rightarrow{x_{k+1}}={x_k}-\frac{1}{{g''({x_k})}}g'({x_k})   (7)

                     从本质上来讲,最优化求解问题的迭代形式都是: {x_{k+1}}={x_k}-kg'({x_k})

                     其中k为系数,g'({x_k})为函数的梯度(即函数值上升的方向),那么-g'({x_k})为下降的方向,

                     最优化问题的标准形式是:求目标函数最小值,只要每次迭代沿着下降的方向迭代那么将逐渐达到最优,

                     而牛顿将每次迭代的步长定为:1/g''({x_k})

            4、补充

                          a、严格来讲,在“3、牛顿法用于函数最优化求解”中对函数二阶泰勒公式展开求最优值的方法称为:Newton法

                         而在“2、牛顿法用于方程求解”中对函数一阶泰勒展开求零点的方法称为:Guass-Newton(高斯牛顿)法

                     b、在上面的陈述中,如果x是一个向量,那么公式中:

                         g'({x_k})(x-{x_k})应该写成:g'{({x_k})^T}(x-{x_k})g'({x_k})为Jacobi(雅克比)矩阵。

                         g''({x_k})(x-{x_k})应该写成:{(x-{x_k})^T}g''({x_k})(x-{x_k})g''(x-{x_k})为Hessian(海森)矩阵。

                     c、牛顿法的优点是收敛速度快,缺点是在用牛顿法进行最优化求解的时候需要求解Hessian矩阵。

                         因此,如果在目标函数的梯度和Hessian矩阵比较好求的时候应使用Newton法。

                         牛顿法在进行编程实现的时候有可能会失败,具体原因及解决方法见《最优化方法》-张薇 东北大学出版社 第155页。

           5、Newton法与Guass-Newton法之间的联系

                        对于优化问题 \min\left\|{f(x)}\right\|,即\min\{{f^2}(x)\},当理论最优值为0时候,这个优化问题就变为了函数求解问题:

                                                              \min\{{f^2}(x)\}{\Rightarrow}{f^2}(x)=0{\Rightarrow}f(x)=0

                          结论:当最优化问题的理论最小值为0时,Newton法求解就可变为Guass-Newton法求解。        

                     另外:对f(x)进行二阶泰勒展开:

                                                             f(x)=f({x_k})+J{x_k}+0.5{x_k^'}H{x_k}

                          f(x)乘以f(x)的转置并忽略二次以上的项:

                                  

                                                      *\{f({x_k})+J{x_k}+0.5{x_k^'}H{x_k}\}

                                                    {\rm{=}}{f^T}({x_k})f({x_k})+2f({x_k})J{x_k}+x_k^T{J^T}J{x_k}+f({x_k})x_k^TH{x_k}

                                                    ={f^T}({x_k})f({x_k})+2f({x_k})J{x_k}+x_k^T({J^T}J+f({x_k})H){x_k}

                     因此,当{x_k}在最优解附近时,即满足f({x_k})=0,此时可认为:H={J^T}J

            6、扩展阅读

                        a、修正牛顿(Newton)法

                    b、共轭方向法与共轭梯度法

                    c、拟牛顿法(避免求解Hessian矩阵):DFP算法、BFGS算法

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