数学物理方程 第一章 数学物理方程及其定解问题
微分方程包括：常微分方程ode与偏微分方程pde
偏微分方程阶数：方程中存在的最高阶数
线性偏微分方程：方程中未知函数u及其导数都是线性的
齐次偏微分方程：齐次+线性偏微分方程，齐次是指f(x,t)=0
拟线性偏微分方程/半线性偏微分方程：最高阶项是线性的非线性pde
完全非线性偏微分方程：最高阶是非线性的
范定方程：描写一类物理现象的，不含定解条件的pde
定解条件包括初值条件，边值条件，衔接条件
范定方程+定解条件来构成定解问题
1.1 波动方程及其定解问题
1.1.1 波动方程的导出
利用动量守恒列出弦的横向微振动方程
利用动量守恒列出杆的横向振动方程
1.1.2定解条件 下面以弦的横线振动为例
初始条件/柯西条件：已知初始位移与初始速度
第一类边界条件/狄利克雷条件：已知两端的运动规律
第二类边界条件/诺伊曼条件：已知两端受力情况
第三类边界条件/罗宾条件：已知两端的支撑情况
衔接条件：载荷及材料变化处，两端的位移关系与受力关系
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u对t求一阶导表示速度，求两阶导表示加速度
横向振动：u对x求导表示斜率；纵向振动：u对x求导表示相对伸长量，相当于应变。
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传播速度
a=sqrt(E/ρ) 弹性纵波沿杆的纵向传播速度 杆的纵向振动
a=sqrt(G/ρ)剪切弹性波的纵向传播速度 轴的扭转振动
a=sqrt(T/ρ)弹性横波的纵向传播速度 弦的横向振动 T为弦的张力
a=(EI/ρA)**(1/4) 梁弯曲振动的横向传播速度 梁的横向振动
三维波动方程的定解条件
初始条件：已知初始位移与初始速度
第一类边值：已知边界上的u
第二类边值：已知边界上u沿法线的变化率 ∂u/∂n
第三类边值：已知边界上的K*u+h*∂u/∂n
1.2热传导方程及其定解问题
热传导：分子碰撞，一个分子将自己的动能传递给另一个分子
热对流：分子运动，从一个区域运动到另一个区域，那么他就带走了原先区域的能量，送给了现在的区域
1.2.1 热传导方程
傅里叶热传导定理推导热传导方程
dt时间内，沿法线n流过一微小曲面dS的热量。
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热量守恒定律：V内增加的热量 = 通过边界进入的热量 + V内热源产生的热量
通过边界进入的热量由 高斯公式+傅里叶热传导方程 求出
注：比热容低，则散热快，吸热后 温度升高的多
1.2.1扩散方程
菲克定律推出扩散方程
其形式同热传导方程一样
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质量守恒定律：V内增加的质量 = 通过边界进入的质量 + V内质量源产生的质量
通过边界进入的热量由 高斯公式+菲克扩散方程 求出
1.2.2定解条件
初始条件：已知初始时刻，物体的温度分布
第一类边界条件：已知物体边界上的温度分布
第二类边界条件：已知物体边界上通过的热量
第三类边界条件：由 牛顿冷却定律+傅里叶传导定律 推出，表示边界上的温度与通过热量的关系
自然边界条件：
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牛顿冷却定律：物体冷却放出的热量和物体与外界的温差成正比
注：波动方程u指位移，热传导方程u指温度，扩散方程u指密度
1.2.3三维热传导方程及其定解问题
定解问题即 范定方程+初值条件+第n类边界条件
1.2.4最值原理
是扩散与热传导方程的特性，波动方程没有。
最值原理：温度的最值点在边界上可以找到
解的唯一性与稳定性：在边界包含的区域内有唯一解，且依赖于初始条件与边界条件
1.3位势方程及其定解问题
位势方程包括泊松方程与拉普拉斯方程/调和方程
电位势，重力势，磁位势，速度势，温度势
注：位能与位势
1.3.3最值原理
位势方程同样满足最值原理
注：传导方程不随时间变化，即可推出位势方程
1.4.2 二阶偏微分方程的分类
双曲型，椭圆型，抛物型
波动方程：双曲型
热传导方程与扩散方程：抛物型
位势方程(拉普拉斯方程与泊松方程)：椭圆型
注：
控制方程：在流动与传热问题中满足守恒定律的数学表达式
二次曲线/圆锥曲线：平面截圆锥得到 椭圆，抛物线，双曲线。
流体力学中的控制方程是什么曲线？？？
弹性力学中的平衡 几何 物理方程进行组合得到由位移表示的基本微分方程(二阶)，也可以得到由应力表示的基本微分方程。推导可得，由材料的μ决定方程是双曲型还是椭圆型。