Leetcode 62. 不同路径(Python3)

62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

说明：m 和 n 的值均不超过 100。

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

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最经典的DP问题。

class Solution:
    def uniquePaths(self, m, n):
        """
        :type m: int
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        #dp[i][j]表示到第i行j列为止总共有多少条不同的路径
        dp = [[0 for _ in range(n)]for _ in range(m)]
        for i in range(m):
            for j in range(n):
                #初始条件
                if i == 0 or j == 0:
                    dp[i][j] = 1
                else:
                    #递推公式
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
        return dp[-1][-1]

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优化下写法：

class Solution:
    def uniquePaths(self, m, n):
        """
        :type m: int
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        #dp[i][j]表示到第i行j列为止总共有多少条不同的路径
        dp = [[1 for _ in range(n)]for _ in range(m)]
        for i in range(1,m):
            for j in range(1,n):
                #递推公式
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
        return dp[-1][-1]

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同时，这也是一个组合问题，因为机器人一定会走m+n-2步，即从m+n-2中挑出m-1步向下走。问题转化为计算C(m+n-2,m-1)，时间复杂度为O(n)，空间复杂度O(1)。

class Solution:
    def uniquePaths(self, m, n):
        """
        :type m: int
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        # C^(m-1)_(m+n-2)
        res = 1
        for i in range(m, m+n-1):
            res *= i
            res /= i-m+1
        return int(res)