Random Walk（随机游走）

本篇文章主要整理随机游走的基本思想，如果是深度学习图方法中的DeepWalk随机游走，传送门整理了几种流行的图嵌入方法。

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金融和经济模型和概率统计学难以分离，对于这样的随机二级市场数据的理解和操作也是计算机科学的一个领域，十分有魅力的计算金融学。

普通数据挖掘方法大多都是确定性模型，对于输入的输出往往没有随机性，而一些能给出概率的随机性模型似乎更加的适用，如蒙特卡洛模拟，即模拟输入一堆的随机数进行评估。

几何布朗运动(Brownian motion)
布朗运动是将看起来连成一片的液体，在高倍显微镜下看其实是由许许多多分子组成的。液体分子不停地做无规则的运动，不断地随机撞击悬浮微粒。当悬浮的微粒足够小的时候，由于受到的来自各个方向的液体分子的撞击作用是不平衡的。在某一瞬间，微粒在另一个方向受到的撞击作用超强的时候，致使微粒又向其它方向运动，这样，就引起了微粒的无规则的运动就是布朗运动。（布朗运动指的是分子迸出的微粒的随机运动，而不是分子的随机运动。）

即布朗运动代表了一种随机涨落现象。普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，随机波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。（随机现象的数学定义是：在个别试验中其结果呈现出不确定性；在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。）而布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。

随机游走
其概念接近于布朗运动，是布朗运动的理想数学状态。任何分子所带的守恒量都各自对应着一个扩散运输定律。
随机游走过程$S_t$遵循几何布朗运动，满足微分方程：$$d{S}_t=u{S}_{t}dt+\sigma S_{t}d{W}_t$$$$d{S}_t/S_t=udt+\sigma d{W}_t$$设定初试状态S0，根据伊藤积分，可以解出：$$S_t=S_{0}exp((u-{\sigma }^2/2)t+\sigma W_t)$$
其中$\mu$ (‘百分比drift’) 和$\sigma$ (‘百分比volatility’)是常量。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

#rect=[0.1,5.0,0.1,0.1]
fig=plt.figure()

 #time span
T=2
#drift factor飘移率
mu=0.1 
#volatility波动率
sigma=0.04 
#t=0初试价
S0=20 
#length of steps
dt=0.01 
N=round(T/dt)
t=np.linspace(0,T,N)

#布朗运动
W=np.random.standard_normal(size=N)
W=np.cumsum(W)*np.sqrt(dt)

X=(mu-0.5*sigma**2)*t+sigma*W

S=S0*np.exp(X)

plt.plot(t,S,lw=2)
plt.show()

可以模拟出如下图：

一维的随机游走模拟：

在3D的模拟情形：