自适应滤波器:维纳滤波器1——FIR及IIR设计

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前言

仍然是西蒙.赫金的《自适应滤波器原理》第四版,距离上次看这本书已经过去半个月,要抓点紧了。本文主要包括:

  1)何为维纳滤波器(Wiener Filter);

  2)Wiener滤波器的推导;

  3)应用实例;

  4)Wiener变体;

内容为自己的学习总结,内容多有参考他人,最后一并给出链接。

 

一、维纳滤波器简介

  A-基本概念

对于滤波器的具体实现,都依赖两个选择:

1)Filter的impulse选择(FIR / IIR)

2)统计优化准则的选择

维纳滤波器:由数学家维纳(Rorbert Wiener)提出的一种以最小平方(统计准则)为最优准则的线性滤波器。何为线性滤波器?文中图:

                                  自适应滤波器:维纳滤波器1——FIR及IIR设计_第1张图片

  B-几个问题

在具体讨论之前,先来说说自己看的时候,想到的几个问题:

问题1:维纳滤波器与自适应滤波是什么关系,与LMS呢?

个人观点:常用的hamming、taylor都是固定的滤波器,滤波器参数需要根据信号进行计算调整的,这一类滤波器都是自适应滤波器,跟自己有关嘛,自适应理所当然,维纳滤波器是利用统计参数,实际应用中可能无法得到,需要借助迭代实现,这样就成了一个新框架→自适应滤波器。参数估计呢可以利用梯度下降法迭代逼近,例如常说的LMS就是迭代逼近的一种方式,LMS本身不同于weiner-filter,但迭代结果可以作为wiener-filter的近似。

问题2:维纳滤波器是有限长(FIR-Finite Impulse Response)还是无限长滤波器(IIR-Infinite Impulse Response)?

个人观点:维纳滤波器是大的理论框架,而FIR/IIR只是实现理论的不同途径,故二者均可,下文会一一介绍。

问题3:基于维纳滤波器这个理论框架的应用有哪些?

个人观点:1)自适应是一种解决工程问题的途径,故很多自适应滤波本质都是维纳滤波(不是全部);2)MVDR谱估计(Minimum variance distortionless response)、广义旁瓣相消GSC(Generalized Sidelobe Canceller )等都是维纳框架下的应用。

问题4:卡尔曼滤波(Kalman)是维纳滤波的一种吗?

个人观点:应该不是,维纳滤波器是线性滤波器,而卡尔曼滤波器据说是非线性,具体区别等看到卡尔曼再回头总结。

 

二、维纳滤波器理论分析

  A-有限长维纳滤波(FIR)

1-基本定义

下图是使用M抽头FIR滤波器的结构图:

                             自适应滤波器:维纳滤波器1——FIR及IIR设计_第2张图片

输出为:

                               

其中h_k为FIR滤波器系数,M为系数个数。

以下推导基于宽平稳假设,首先计算估计误差:

                        

其中是包括过去M个样本的输入向量。

Wiener Filter基于最小均方误差准则,给出均方误差定义:

                            自适应滤波器:维纳滤波器1——FIR及IIR设计_第3张图片

其中,为输入信号与期望信号的互相关。

2-维纳滤波器求解

最小化估计误差,对其中某个抽头系数求偏导:

                            

这就是正交定理(Orthogonality Principle):估计误差e(n)需要正交与输入信号y(n)。这也容易理解,在输入信号y(n)张成的子空间中,更加高维的信息无法被表达,故成了误差。如(x_1,y_1,z_1)\bold x\bold y两个单位向量表达,最小均方误差时z_1就成了估计误差。

不失一般性,将偏导写成向量/矩阵形式:

                          

上式就是Wiener Hopf方程

得到Wiener Filter最优解\bold h_{opt}:

                                     

上式就是Wiener-Hopf的解,也就是对应Wiener Filter的解。求解需要矩阵求逆,又相关矩阵为对称且为Toeplitz形式,故可借助数学手段对R高效求逆——Levinson-Durbin算法。

因为在时域分析,此时FIR的解也叫时域维纳滤波器。

  B-无限长维纳滤波(IIR)

1-基本定义

滤波器为无限长时,改写为:

                             

∗表示卷积。易证:时域有限长对应频域无限长,时域无限长对应频域有限长,因此对于IIR情形,更希望在频域进行分析。

2-维纳滤波器求解

计算均方误差:

                      自适应滤波器:维纳滤波器1——FIR及IIR设计_第4张图片

其中e(n)的频域变换,,

针对J求解复导数:

                       

得到频域维纳滤波最优解:

                                   

因为在频域分析,此时IIR的解也叫频域维纳滤波器。

 

三、应用实例

已知

含有噪声的正弦波:.

其中f=0.2为归一化频率[-1/2, 1/2],\theta为正弦波相位,服从[0, 2\pi]的均匀分布,w(n)为具有零均值和方差\sigma^2=2的高斯白噪声。

时域以及频域维纳滤波器。假设滤波器为时域滤波器时M=2.

 

  A-对于时域维纳滤波器:

首先求解相关矩阵:

x(n)为广义平稳随机过程,可以计算其自相关函数:

                           

利用上面推导的Wiener-Hopf最优解公式:

                         自适应滤波器:维纳滤波器1——FIR及IIR设计_第5张图片

当然也可以求解准则函数\bold J,求极值点:

                                  自适应滤波器:维纳滤波器1——FIR及IIR设计_第6张图片

  B-对于频域维纳滤波器:

白噪声与信号不相关,直接调用上文推导的公式:

                          

时域相关函数与频域功率谱互为傅里叶变换,而时域相关函数在求时域维纳滤波时已写出,得出功率谱公式:

                                 自适应滤波器:维纳滤波器1——FIR及IIR设计_第7张图片

,将P_{xx}代入上式,即使频域维纳滤波器的解。

  C-闲话时域、频域维纳滤波器

时域求解维纳滤波器,但时域对应的都有频域的变换结果,如L=2的频域解就是时域维纳解的傅里叶变换。画出L不同取值对应的频域幅度响应:

                                自适应滤波器:维纳滤波器1——FIR及IIR设计_第8张图片

可以观察到:L趋近∞时,频域响应接近σ(.)冲激响应,这与理论:相关函数为时域余弦对应频域冲激响应是一致的。

这个例子只是理想情况,理一理求解的思路,事实上认为信号的自相关为已知,这是不符合实际的。实际应用中如何近似求解呢?给出一个简单例子。

  D-基于频域维纳滤波的语音增强

还是利用上面的模型:

                               

这里y(n)是麦克风接收的带噪语音,x(n)是干净语音信号,w(n)为白噪声。显然相关函数我们无法得知。

利用一种近似的处理思路:利用前面几个分帧不带语音,估计噪声,从而得到噪声的功率谱近似,利用带噪语音功率减去噪声功率,得到

                           

利用估计出的维纳滤波器,即可实现信号的频域滤波。这里只是想到的一个实际例子,至于参数估计、迭代方式则是百花齐放了。

附上主要代码:

nw = 512; ni = 64;
NIS = 100;
Y = fft(enframe(y,hamming(nw),ni)');
Yab = abs(Y);
Nest = mean(Yab(:,1:NIS),2);
Yest = zeros(size(Y));
for i = 1:size(Y,2)
    Yest(:,i) = Yab(:,i).*((Yab(:,i)-Nest)./Yab(:,i));
end
Ye = Yest.*exp(1j*angle(Y));
result = zeros(1,length(y));%estimation
for i =1:size(Y,2);
    pos = ((i-1)*ni+1):((i-1)*ni+nw);
   result(pos) = result(pos)+real(ifft(Ye(:,i))).';
end
result = result/max(abs(result));
上面思路处理结果:

                    自适应滤波器:维纳滤波器1——FIR及IIR设计_第9张图片

可以看出维纳降噪多少还是有些效果的,可以看出SNR越小,维纳滤波器衰减越大。

 

四、Wiener Filter变体

  A-平方根维纳滤波

使用维纳滤波器的平方根,则滤波器在频域的滤波结果为:

                                    

仍然基于噪声与信号不相关的假设,分析滤波后信号的功率谱:

                         

可见采用平方根维纳滤波,滤波器输出信号的功率谱与纯净信号的功率谱相等。

  B-参变维纳滤波器

以频域Wiener Filter为例:

                             

很自然地,可以将其扩展为广义Wiener Filter形式:

                            

这样通过调节即可对滤波器进行微调。

 

参考:

Philipos C.Loizou《speech enhancement theory and practice》.

Simon Haykin 《Adaptive Filter Theory Fourth Edition》.

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