面试题14- I. 剪绳子

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m-1] 。请问 k[0]k[1]…*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
提示：

2 <= n <= 58

解题思路：
Ⅰ 动态规划 定义dp[i]为长度为i的绳子通过剪断得到的最大积值
等式关系：dp[i] = max(dp[i],dp[j]*dp[i-j]); //每剪一次，将最大值存入dp[i]
Ⅱ 数学方法：取最多的3时取得最大值，遇4取4（4 .> 22分）
为什么不是2？ 因为33分>222分
n = 3a + b(b =0or1or2) 利用除法取余 和幂函数pow（底数，幂次）可求得积

tips：注意234等不用分割反积而更大的特殊情况

class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {
        /*
        //动态规划法
        if(n <= 3) return n - 1;

        //定义dp[i]为长度为i的绳子通过剪断得到的最大积值
        vector dp(n+1);
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        dp[3] = 3;

        //j为剪下一刀，左半边的长度
        //当j<=3时，不剪会有更大的积，不按照dp[j]乘，直接按照j乘，为方便计算，上面重新定义了dp123
        for(int i = 4;i <= n;++i)
        {
            for(int j = 1;j <= i/2;++j) //4*5和5*4是一样的，试剪一半即可
            {
                dp[i] = max(dp[i],dp[j]*dp[i-j]); //每剪一次，将最大值存入dp[i]
            }
        }    
        return dp[n];*/

        //取最多的3时取得最大值，遇4取4
        /*if(n <= 3) return n-1;
        int maxValue = 1;
        while(n > 4)
        {
            maxValue *= 3;
            n -= 3;
        }

        return maxValue*n;*/
        
        //直接用库函数
        if(n <= 3) return n-1;
        int a = n/3;
        int b = n%3;
        if(b == 1) return pow(3,a-1)*4;
        else if(b == 0) return pow(3,a);
        else return pow(3,a)*2;
    }
};

★

当n值较大时
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1

//贪心+快速幂or循环幂
class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {

        /*
        if(n <= 3) return n-1;

        long maxValue = 1; //用long型返回时转换为int型

        while(n > 4)
        {
            maxValue = (maxValue*3)%1000000007;
            n -= 3;
        }
        return (int)(maxValue*n%1000000007);*/

        /*if(n <= 3) return n-1;
        
        int a = n/3;
        int b = n%3;



        if(b == 0) return (int)pow(3,a)%1000000007; //pow的返回值是double类型，不能进行取余操作
        else if(b == 1) return 4*(int)pow(3,a-1)%1000000007;
        else  return 2*(int)pow(3,a)%1000000007;*/
        
        //快速幂
        if (n <= 3) {
            return n - 1;
        }
        int a = n / 3;
        int b = n % 3;
        if (b == 2) {
            return (int) (quickPow(3, a) * b % 1000000007);
        } else {
            return (int) ((quickPow(3, a - 1) * (b + 3)) % 1000000007);
        }
    }

//    private long quickPow(int x, int n) {
//        if (n == 0) {
//            return 1;
//        }
//        long y = quickPow(x, n / 2);
//        return (n & 1) == 1 ? (y * y * x) % 1000000007 : (y * y) % 1000000007;
//    }

    private long quickPow(int x, long n) {
        long res = 1;
        long tt = x;
        while (n != 0) {
            if ((n & 1) == 1) {
                res *= tt;
                res %= 1000000007;
            }
            tt *= tt;
            tt %= 1000000007;
            n /= 2;
        }
        return res;
    }
}

    }
};
//递归
/*class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        return n <= 3 ? n-1 : (int)process(n);
    }
    public long process(long n){
            return n > 4 ? (process(n-3)*3)%1000000007 : n;
    }
}*/
//基于贪心的动态规划
/*class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {
        vector dp(1001,0);
        dp[1]=1;
        dp[2]=1;
        dp[3]=2;
        dp[4]=4;
        dp[5]=6;
        dp[6]=9;
        for(int i=7;i<=n;i++){
            dp[i]=(dp[i-3]*3)%1000000007;
        }
        return dp[n];
    }
};*/