详解 n 维向量、n 维数组 和 矩阵的维度

1. 概述

在机器学习过程中，我们会经常遇到向量、数组和矩阵这三种数据结构，下面就这三种数据结构做一次详细的分析。
同时我们时常困惑于维度，n维向量，n维数组，矩阵的维度，本文着重就这一方面进行分析。

2. 向量、数组和矩阵

2.1 向量

在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”叫做向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象。

在引进坐标系以后，这种向量就有了坐标表示式— — n个有次序的实数，也就是n维向量。因此，当　n ≤ 3 时，n维向量可以把有向线段作为几何形象，但当n＞3 时，n 维向量就不再有这种几何形象，只是沿用一些几何术语罢了。

几何中，“空间”通常是作为点的集合，即构成“空间”的元素是点，这样的空间叫做点空间。我们把3 维向量的全体所组成的集合

叫做3 维向量空间。在点空间取定坐标系以后，空间中的点P（x，y，z）与3 维向量　r =（x，y，z）T 之间有一一对应的关系，因此，向量空间可以类比为取定了坐标系的点空间。在讨论向量的运算时，我们把向量看作有向线段；在讨论向量集时，则把向量r 看作以r 为向径的点P，从而把点P 的轨迹作为向量集的图形。

在同济大学线性代数第六版中，有这样一句话，矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组；反之，一个含有限个向量的向量组总可以构成一个矩阵。因此我们可以推断，列向量是可以多维的，但是它的深度只能是一维（这里的深度是相对于矩阵和数组而言的，而这里的维度是指的空间的维度，这是两个不同的概念）。

2.2 数组

所谓数组，是有序的元素序列。
这里的概念就没有涉及到空间了，我们通常称的n维数组，这里的维度指的不是空间的维度，而是数据所构成的维度；
下面进行举例说明，

1. 一维数组
   [1, 2, 3, 4]
   这里的数据的维度就只有一维，也就是深度为1，怎么理解呢，比如你要取2，你要怎么做呢，只需要进入第一层，这时候你会找到1，2，3，4这四个元素，直接就能找到2这个元素。
2. 二维数组
   [[1, 2],[3, 4]]
   这里的数据的维度就就有二维，也就是深度为2，怎么理解呢，比如你要取2，你要怎么做呢，首先你要进入进入第一层，这时候你找到的是[1, 2] 和 [3, 4]，然后你还得继续往下找，再进入一层，你会找到 1，2，3，4这四个元素，然后找到2这个元素，也就是你进入了两层才找到元素，所以深度为2，维度为二维。
3. 三维数组
   [[[1, 2], [3, 4]], [[5, 6], [7, 8]]]
   这里的数据的维度就就有三维，也就是深度为3，怎么理解呢，比如你要取2，你要怎么做呢，首先你要进入进入第一层，这时候你找到的是[[1, 2], [3, 4]] 、 [[5, 6], [7, 8]] ，然后你还得继续往下找，再进入一层，你会找到 [1, 2]、[3, 4]、[5, 6]、 [7, 8] ，然后你还得继续往下找，再进入一层，1、2、3、4、5、6、7、8这8个元素，然后找到2这个元素，也就是你进入了三层才找到元素，所以深度为3，维度为三维。

2.3 矩阵

在同济大学线性代数第六版中，矩阵定义如下：由m×n 个数aij （i= 1，2，…，m；j= 1，2，…，n）排成的m 行n 列的数表

称为m 行n 列矩阵，简称m×n 矩。

同时如2.1所述，矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组；反之，一个含有限个向量的向量组总可以构成一个矩阵。因此可知向量可以组成矩阵，矩阵是包含向量的。
顺便说一下，2.2中的二维数组，可以转化为矩阵，但不等同于矩阵。

注意：我们通常会说矩阵的维度，这里的维度也不是指的空间，而是指矩阵的行数。