筛法求质数

例题

LGOJ P3383 【模板】线性筛素数
LGOJ P1865 A % B Problem

求质数

下面我们来讲解如何求质数

Q1

我们如何判断一个数$k$是否为质数呢？
可以采用试除法

bool pr(int k) {
	if(k == 1) return 0;
	for(rg int i = 2; i <= n; i++)
		if(k % i == 0) return 0;
	return 1;
}

时间复杂度$O(n)$

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优化?
我们发现，若$[2,\sqrt{n}]$以内的所有数都无法整除$n$，那么$[\sqrt{n}+1,n-1]$以内的所有数也自然无法整除$n$，故可以优化：

bool pr(int k) {
	if(k == 1) return 0;
	for(rg int i = 2; i * i <= n; i++)
		if(k % i == 0) return 0;
	return 1;
}

时间复杂度$O(\sqrt{n})$

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另外，如果我们预处理出了$\sqrt{n}$内的质数表，只试除质数，时间复杂度将会变为$O(\frac{\sqrt{n}}{lo{g}_{2}n})$

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还有一种比较高效的判断大质数的算法:Miller-Rabin算法，大家可百度自行学习

Q2

我们如何求$n$以内的所有质数呢？
方法1：对$n$以内的所有质数进行试除，时间复杂度$O(n\frac{\sqrt{n}}{lo{g}_{2}n})$，太过低效
方法2：埃氏筛法，时间复杂度$O(nloglogn)$
代码大概长这样（由于小学老师都会讲，在此不赘述）

void pr() {
	ispr[1]=false;
	for(int i=2;i*i<=N;i++)
		if(ispr[i]) {
			for(int j=2;i*j<=N;j++) {
				ispr[i*j]=false;
			}
		}
}

时间复杂度的论证不太好做，大家可以自行网上找（滑稽）
方法3：欧拉线性筛：
时间复杂度$O(n)$
其实和埃氏筛法的$O(nloglogn)$没差多少
它解决了埃氏筛法重复筛合数的问题。
上代码

void getpr()
{
	memset(ispr, true, sizeof ispr);
	ispr[1] = false;
	for(rg int i = 2; i < MAXN; i++)
	{
		if(ispr[i]) pr[++cnt] = i;
		for(rg int j = 1; j <= cnt && i * pr[j] < MAXN; j++)
		{
			ispr[i * pr[j]] = false;
			if(i % pr[j] == 0) break;
		}
	}
}

为什么呢？
任何一个合数都可以表示成一个质数和一个数的乘积

设当前判断的数$A$是一个合数，且$A=xy$，其中$x$也是一个合数
则可设
$x=ab$ (假设$a$是质数，有$a<x$)
故可得$A=xy=aby=aZ$ (其中$Z=by$是个比$x$更大的合数)

即一个合数($x$)与一个质数($y$)的乘积可以表示成一个更大的合数($Z$)与一个更小的质数($a$)的乘积，那样我们到每一个数，都处理一次，这样处理的次数是很少的，因此可以在线性时间内得到解。
（上述证明摘抄自dormantbs 的博客洛谷博客）