JoeyforJoy

数模竞赛 MATLAB 学习笔记

一、基础操作

向量化编程：arrayfun(@fun,array)
匿名函数：f = @(x) x.^2
计时：tic & toc
随机数控制：rng(‘default’)

% =============================
%1. 生成一串满足a(i) = i^2的数组
a = arrayfun(@(x) x.^2 , 1:10000)

二、方程求解

（1）单一方程

fzero:求函数零点

% =========================
1.解方程
f = @(x) exp(x)+x.^2 + x^sqrt(x)-100
x0 = fzero(f,3)
% =========================
2. 显示表示隐函数,并使其接受向量化输入
y = @(x) fzero(@(y) (exp(y)+x^y)^(1/y)-x^2*y,1)%代入x，求y
Y = @(X) arrayfun(@(xx) y(xx), X)
% =========================
3. 画出隐式方程的三维图像
z = @(x,y) fzero(@(z) exp((x-0.5-exp(-y+z))^2+y^2-z/5+3)
[X,Y] = meshgrid(-1:0.1:1,-1:0.1:1)
Z = arrayfun(@(x,y) z(x,y),X,Y)
surf(X,Y,Z)

（2）方程组求解

fslove:求解非线性方程组
eg.
$\begin{array}{c} {e^{ - {e^{ - ({x_1} + {x_2})}}}} - {x_2}\left( {1 + x_1^2} \right) = 0\\ {x_1}\cos \left( {{x_2}} \right) + {x_2}\sin \left( {{x_1}} \right) \frac{1}{2} = 0. \end{array}$

function F = root2d(x)
F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2);
F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;
end
fun = @root2d;
x0 = [0,0];
x = fsolve(fun,x0);

三、求积分

一重积分: integral
q = integral(fun,xmin,xmax)
q = integral(fun,xmin,xmax,Name,Value)

% ===============
-1. 广义积分 
q = integral(@(x)exp(-x^2)*log(x)^2, 0,Inf)

二重积分: integral2
q = integral2(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)
q = integral2(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,Name,Value)

fun = @(x,y) 1./(sqrt(x+y).*(1+x+y).^2)
q = integral2(fun,0,1,0,@(1-x))

三重积分: integral3
q = integral3(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax)
q = integral3(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,Name,Value)

四、求微分

(1) 常微分方程 (ODE, Ordinary Differential Equation)

定义：未知函数是一元函数
MATLAB求解：

dsolve: 符号函数求解

y = dsolve('x * D2y - 3 * Dy = x^2', 'y(1)=0,y(5)=0','x');%ODE求解
f = str2func(['@(X)' vectorize(char(y(1)))]);%把符号解转换为匿名函数

数值求解：ode45+deval：

tspan = [0 20];%求解区间
y0 = [2 0];%初值
sol = ode45(@vdp1, tspan, y0);%ode45求解，sol为结构体
y = @(x) deval(sol,x);%利用插值将数值解表示为函数的形式

NOTE:

ode45只适用于非刚性方程（变化较为缓慢）.若发现ode45计算较慢，则方程可能为刚性（变化较快），可使用ode15s函数。
若微分方程为隐式方程，则可用ode15i函数。
仅适用于初值问题。若遇到边值问题，则可使用bvp4c函数（25个案例P230）

(2) 偏微分方程 (PDE, Partial Differential Equation)

定义：未知函数是多元函数

五、优化问题(Optimation Problems)

（1）种类

线性规划(LP, Linear Programming)
目标函数是线性函数，所有约束也是线性函数。MATLAB中linprog可实现。
混合整数线性规划(MILP, Mixed Integer Linear Programming)
目标函数是线性函数，所有约束也是线性函数，但决策变量中有部分是整数。MATLAB中intlinprog可实现
混合整数规划(MLP, Mixed Linear Programming)
目标函数或约束含非线性，但决策变量中有整数。常用智能算法解决，如ga.
二次规划(QP, Quadratic Programming)
目标函数是二次函数，约束条件是线性函数。MATLAB中quadprog可实现

（2）常用函数

fminunc: 无约束条件求最小值(Find MINimum of UNConstrained multivariable function)

输入导数可以使算法更快，更稳定。此时’SpecifyObjectiveGradient’参数需要设置成’true’,‘Algorithm’可设置成’trust-region’

fmincon: 带约束条件求最小值(Find MINimum of CONstrained multivariable function)

目标函数及其一阶导数必须连续
若目标函数或约束函数需要传递额外参数，可使用匿名函数

ga：遗传算法(Genetic Algorithm)

Intcon参数含义：若 Intcon=1:5, 则表示第1到5个变量为整数。当Intcon非空时，ga不可有等式约束，只能有不等式约束（等式约束可以用两个不等式来实现，最好设置一定的误差范围）
杂交函数选项(hybrid function options)：用ga的结果作为初始值其他优化算法的初始值（不可有Intcon, 因为在matlab中没有其他算法可以实现非线性整数规划，可把整数约束转换为两个不等式约束）

FitnessFcn = @dejong2fcn;
numberOfVariables = 2;
rng('default')
fminuncOptions = optimoptions(@fminunc,'Display','iter','Algorithm','quasi-newton');
options = optimoptions(options,'HybridFcn',{@fminunc, fminuncOptions});
[x,fval] = ga(FitnessFcn,numberOfVariables,[],[],[],[],[],[],[],options)

六、统计分析

(1) 数据预处理

对时间序列：数据平滑(smooth,smooths,medfilt1)
归一化：方差归一化和极差归一化

(2) 基本统计量

均值、方差、偏度、峰度、相关系数等

(3) 参数估计

正态分布：mle函数
自定义分布：mle函数，需要定义概率密度函数

(4) 假设检验

1) 均值检验

U检验(ztest): 标准差已知时
t检验(ttest)：标准差未知时

2) 方差检验：

卡方检验(vartest)：均值未知时

3) 比较检验（两个样本有无显著性差异）

均值有无差异？t检验(ttest)
方差有无差异？F检验(vartest2、vartestn)
中值有无差异？
- 符号检验: signtest，
- Wilcoxon检验：signrank
- Mann-Whitney检验：ranksum，可比较两个分布的形状是否相同

4) 随机性检验

游程检验(runstest)：检验某一参数的出现是否具有随机性

5) 分布检验（某一样本是否服从某一分布）

卡方拟合优度检验(chi2gof)：除了正态分布也可检验
Jarque - Bera 检验(jbtest)：基于峰度和偏度检验分布的正态性，受异常值影响较大
单样本 Kolmogorov - Smirnov 检验(kstest): 检验某一样本是否服从某一已知分布
双样本 Kolmogorov - Smirnov 检验(kstest2): 检验两个样本是否服从相同的分布
Lilliefors 检验(lillietest)：提出用样本均值和标准差代替总体的均值和标准差，然后用 Kolmogorov - Smirnov 检验。指定的分布参数是未知的.常用

(5) 方差分析(ANOVA, ANalysis Of VAriance)

NOTE：

检验某些因素对一些变量的影响。一般要求样本服从正态分布，并且满足方差齐次性

一般流程：

正态性检验。利用lillietest，检验样本是否服从正态分布
方差齐次性检验。利用vartestn，检验不同组的样本是否具有相同的方差
方差分析。利用anoval、分析不同因素对变量的影响。
多重比较。利用multcompare，分析哪些主效应具有显著性影响，哪些交互效应具有显著性影响。

七、回归分析(Regression Analysis)

(1) 种类

线性回归模型（Linear Regression Model)：可调用LinearModel类。
非线性回归模型 :可调用NonLinearModel类。
多项式回归：可调用polyfit函数。

(2) 回归诊断

1) 查找异常点和强影响点

异常点查找：
- 标准化残差：LinearModel.Standardized
- 学生化残差：LinearModel.Studentized
强影响点查找：
- Cook 距离：~.plotDiagnostics(‘cookd’)
- Covratio 统计量：~.plotDiagnostics(‘covratio’)
- Dffits 统计量：~.plotDiagnostics(‘Dffits’)
- 杠杆值：~.plotDiagnostics(‘leverage’)

2) 残差分析

置信区间：~.coefCI(alpha)’,.predict(xnew.‘Prediction’,‘observation’);
残差值序列图：~.plotResiduals(‘caseorder’)
残差与拟合值图：~.plotResiduals(‘fitted’)
残差与自变量图：~.Residuals.Raw
残差直方图：~.plotResiduals(‘histogram’)
残差正态概率图：~.plotResiduals(‘probability’)
残差与滞后残差图：~.plotResiduals(‘lagged’)

3) 多重共线性诊断

诊断自变量间有无线性关系

利用方差膨胀因子VIF_i，当VIF_i < 5 时，认为不存在共线性；当VIF_i > 10 时，认为x_i与其他自变量线性相关。VIF_i等于自变量相关系数矩阵的逆矩阵的对角线上的第i个元素

Rx = corrcoef(X);
VIF = diag(inv(Rx));

若发现VIF_i过大，则可以在model.fit函数中设置model参数，如不要第2项和第5项，mdl = LinearModel.fit(x,y,‘poly10101’,‘Exclude’,id)。

(3) 提高回归结果可靠性的方法

回归结果主要受异常点和回归模型的影响

排除异常点：在 fit 函数中增加’ Exclude’ 参数.eg. ~.fit(x,y,‘Exclude’,id)
稳健回归（加权最小二乘法估计）：在 fit 函数中增加 ‘RobustOpts’ 参数。eg. ~.fit(x,y,‘RobustOpts’,‘on’)

八、聚类分析

(1) 系统聚类法

思想：把每个样本当成独立的个体，每次只合并两类，把合并后的新类作为一个新的个体，再次参与聚类。
评价：用不一致系数(inconstant)进行评价。若不一致系数在某一次分类中增幅较大，则表示这一次并类效果较差而上一次并类效果较好
常用函数：

一步聚类：clusterdata

T = clusterdata(X, 'linkage', 'average', 'maxclust', 3)
%% 等价于
Y = pdist(X,'euclid');%得到距离向量（距离矩阵的下三角向量化后的样子）;
Z = linkage(Y, 'average');%创建系统目录树
T = cluster(Z,'maxclust', 3);%根据系统目录树创建

分布聚类：pdist、linkage、dendogram、inconsistent

Y = pdist(X,'euclid');%得到距离向量（距离矩阵的下三角向量化后的样子）;
Z = linkage(Y, 'single');%创建系统目录树
H = dendogram(Z,0,'orientation','right','labels',label);%绘制聚类树形图
inc = inconsistent(Z,40);%依据系统目录树计算不一致系数，来确定最终分类树

(2) kmeans聚类

思想：以重心表示聚类中心，以最小距离的原则将样本分给相应的类；如此往复
评价：利用轮廓值(Silhouette Value)判读聚类效果好坏。轮廓值越大，分类效果越好。轮廓值也适用于其他聚类方法
常用函数：

kmeans
silhouette

(3) 模糊C均值聚类

思想：计算每一个样本属于每一类的隶属度，基于此进行分类
函数：fcm

九、判别分析

使用Classification Learner APP

十、灰色系统(Gray System)

(1) 用途及其理论

用途：

序列数据的预测
数据融合：综合多个观测值，给出最合适的估计值(P184)
分析关联紧密程度(P186)

预测模型：

GM(1,1)：用于具有较强指数规律的序列，只能描述单调的变化过程
Verhulst：适合非单调的摆动发展序列或具有饱和状态的S形序列
具体看链接

图论

(1) 最短路径问题

目的：求两个村庄之间的最短距离
常用算法：

求两点间的最短距离：Dijkstra算法
求任意两点之间的最短距离：Floyd算法

MATLAB函数：

graphallshortestpaths：使用Johnson’s algorithm计算
graphshortestpath：可使用Dijkstra、BFS、Bellman-Ford、Acyclic等算法

(2) 最小生成树问题

目的：用最短的路连接所有的村庄
常用算法：

kruskal
prim