人工智能新手入门——高数篇（泰勒展开公式）

泰克展开公式：

一听这么名字就感觉有点肝颤，至少我是这样的。泰勒公式主要的作用就是把一个特别复杂的函数化简，近似的求其值，归根结底他的作用就是近似函数来用的，以简单熟悉的多项式去尽量代替复杂的函数公式。

北风

一次逼近：

接下来我们一点一点的引入来了解这个公式：

CBDmax

图中给出了一个函数  这个函数图像，我们来试着先逼近  ，在图中有一个褐色的横线就是要表达逼近  函数线的公式，在这里我们先看到有一个微分近似计算公式来代替  。 

首先我们来看一下这个公式： ，他就是用来近似 的计算公式，这个表达式是微分表达式，在这里不做过多介绍，只需要了解他是通过微分的方式推导出来的公式就可以了。因为近似表达所以用了≈ 符号。

在这里我们想要逼近的是  ,他在这个函数中的值是0，我们来直接代入内个微分公式直接就可以得出他的线性逼近，得出一下结果： 。

二次逼近：

CDBmax

在这个图中介绍了二次逼近，首先列出了一个二次的多项式，用这个多项式来逼近 

我们分别对其求导，一个x都没有的就用0阶导，一个x并且平方是1的用一阶导，x平方是2的用二阶导，最后通过求导一次计算出a的系数，然后把公式化简就得出了  的二次逼近。

在这两个图中有没有发现这个二次逼近和一次逼近很相似。没错，二次逼近其实就是比一次逼近多了一个项，其实一次逼近里面的 就是二次逼近里面内个 a 。在这里我们看出二次逼近有了这个  咱们逼近函数能拐弯了，能更好的拟合这个函数。

在一次逼近的时候是这个样子  ，二次逼近的时候他长成这样 然后分别求导后化简变成这样 ：，不过他们推导过程的公式是非常像的 。由此我们看出几次逼近就是分别对应项数求几次导，然后化简得出的函数就可以非常的接近我们的原函数，当然对于这个函数导的越多才能越接近：

北风

这个是八次逼近，其实也可以更多次，次数越多逼得越近。。。

但是这样就满足了吗？ 不！！还要逼得更近，这就需要用到误差项的概念：

北风

上图中蓝框框内给出了两个公式  是原函数， 是多项式，对他分别求导可以逼近  ， 他就是误差项，他等于  。为了更好地理解误差项和逼近这个函数，我们要在理解下他的概念和条件：

在图中我们一一列出了条件（他们必须都在同一区间）：

1.  0阶导的时候也就是常数项，两个函数之间必须有交点，这个很简单

2.  1阶导我们还记得1阶导可以计算函数的单调性，这里用一阶导来让两个函数单调性相同

3.  2阶导在引进来之后，这个函数即使是曲线的，也可以大概逼近了，因为二阶导可以计算函数的凹凸性

4.  导次越多，近似程度就越好。

所以我们的多项式要满足下面这些条件：

CBDmax

在这张图已经给出了条件，一个是函数与逼近的内个多项式，他们两个的各个导数相等，然后原函数必须具有(n+1)阶导数这样才能有逼近效果。然后我们再把误差项的概念导入进来：

在这两个图中我们给出了误差项的推导公式，他与前一项的高阶导又多了一阶，不同的是他的分子上的参数不是x0了，而是  ，他在x0和x之间取值。。然后我们再把公式化简：

这些理论知识就基本已经BB完了，接下来我们看个例子：