电路布线问题（分支限界法）

一.问题描述

• 印刷电路板将布线区域划分成n*m个方格阵列。
• 精确的电路布线问题要求确定连接方格a的中点到方格b的中点的最短布线方案。
• 在布线时，电路只能沿直线或直角布线。
• 为了避免线路相交，已布了线的方格做了封锁标记，其他线路不允许穿过被封锁的方格。

二.算法设计与分析

1.回溯vs分支限界 

①深度优先：搜索到可行解不一定是最优解，需要将所有可行解搜索出来进行比较。

回溯法的搜索是依据深度优先的原则进行的，如果我们把上下左右四个方向规定一个固定的优先顺序去进行搜索，搜索会沿着某个路径一直进行下去直到碰壁才换到另一个子路径，但是我们最开始根本无法判断正确的路径方向是什么，这就造成了搜索的盲目和浪费。
 

②广度优先：一层一层搜索，只要搜索到可行解那么必定是最优解，进入树的深度就是路径的长度。

原本是一个图，但是由于约束：访问过的格子不再访问，因此成为了一棵树。

2.过程：

布线问题的解空间是一个图，适合采用队列式分支限界法来解决。

• 从起始位置a开始将它作为第一个扩展结点
• 与该结点相邻并且可达的方格被加入到活缓点队列中，并且将这些方格标记为1
• 接着从活结点队列中取出队首作为下一个扩展结点，并将与当前扩展结点相邻且未标记过的方格标记为2，并存入活节点队列
• 这个过程一直继续到算法搜索到目标方格b或活结点队列为空时为止(表示没有通路)

3.算法实现

①定义小方格位置

• 定义一个表示电路板上小方格位置的类Position,它的两个私有成员row和col分别表示小方格所在的行和列。
• 在电路板的任何一个方格处，布线可沿右、下、左、上4个方向进行。沿这4个方向的移动分别记为0,1，2，3。沿着这4个方向前进一步相对于当前方格的位移如下表所示。

②实现方格阵列

• 用二维数组grid表示所给的方格阵列。初始时，grid[i][j]=0，表示该方格允许布线，而grid[i][j]=1表示该方格被封锁，不允许布线。
• 为了便于处理方格边界的情况，算法在所给方格阵列四周设置一圈标记为“1”的附加方格，即可识别方阵边界。

③初始化

• 算法开始时，测试初始方格与目标方格是否相同。如果相同，则不必计算，直接放回最短距离0，否则算法设置方格阵列的边界，初始化位移矩阵offset。

④算法搜索步骤

• 算法从start开始，标记所有标记距离为1的方格并存入活结点队列，然后依次标记所有标记距离为2,3.....的方格，直到到达目标方格finish或活结点队列为空时为止

#include 
#include 
using namespace std;
int m=8;
int n=8;
int grid[10][10];
int indexcount=0;
struct Position{
    int row;
    int col;
};

bool FindPath(Position start, Position finish, int & PathLen, Position &path){//计算从起点位置start到目标位置finish的最短布线路径，找到最短布线路径则返回true，否则返回false
    if((start.row==finish.row) & & (start.col==finish.col)){ 
        PathLen=0;
        cout<<"start=finish"< Q;
    do //标记相邻可达方格
    { 
        for(int I=0; I=0; j--)
        path[j]=here;
    //找前驱位置
    for(int i=0; i

 

三.低效率的回溯法的思路：

①解向量（x1,x2……xn) n表示可行解的路径长度，其中xi表示第i步走的方向

②解空间：子集树

③约束函数：不能进入边界或者已经标记过的方格

④记录当前最优解的路径长度bestl，遇到可行解，与最优解比较