5.1一阶谓词逻辑

5语法与逻辑

5.1一阶谓词逻辑

从符号应用来看，领域语言本身可以是用自然语言的文本词汇与语句形式，领域语言也可以是数学符号与公式表现的。我们把上述二种类型领域语言看作二个端点，在这二个端点之间是各种混杂形式的应用。并不是说不会有其它形式的符号应用，因为这是自由的，只是想创新出一种符号方式不是易事。近代的化学里，也有元素周期表，化学方程式这样的专门符号形式应用，但很难说这些符号的应用统驭了这门科学。

在如管理学、生物学、心理学、政治学、还有语言学等等学科，或这些学科里的多个分支，到处都有没有数学化的领域。从比例来说，今天多数人工作所依赖的知识来自那些数学化程度很低的领域。这些领域在理论化时，仍以自然语言的方式来组织符号，并且多数实际上达不到公理化系统这样的程度。欧几里德的《几何原本》如果相较于代数，也可以看作是自然语言、直观图形、一些专用表示基础上建立起来的。

自然语言的文本词汇与语句在构建领域语言时，它们与自然语言的日常性应用有什么不同呢？答案是逻辑在其中所起的作用不同。我们有一些语句，那接下来的工作你可以选择：一是对比语句的描述与实际的情况，判断语句描述是否与实际相符；二是逻辑上判断语句间相互是否矛盾？语句的陈述假设了什么前提，或者从这些语句出发应用逻辑的规则可以推导出什么结论。

逻辑应用的一般描述是：定义概念，通过命题对概念进行判断（也称断言），判断是对二个或多个概念存在一定关系的确定，通过已有命题进行推理与证明，得到新的命题。通过概念与命题交织起的网络，人类的认知与思想得以呈现。正是逻辑与领域内容结合出公理演绎系统的模式：精心地选择初始的概念与命题，通过有组织的定义、推理、证明，建立起整体系统。就算达不到公理的系统，想要树立一个可被接受的认知，而不只是自我表达，必须是以逻辑来组织起内容，这其中包括归纳的逻辑。

符号的概念性应用基本的要求的是：观点与论述可信与自洽的，逻辑的应用是今天人类保障观点自洽的方式。一般的观点，逻辑是有效推理论证的方法：前提为真，就可保障结论为真。推理论证的有效性取决于推理的形式，与推理中非逻辑符号的实指无关，以亚里士多德（Aristotle，公元前384～前322，古希腊的哲学家、科学家、逻辑学家、教育家）三段论为例：

所有吃草且会奔跑的都是动物

马是吃草且会奔跑的

所以，马是动物

在这个例子中，替换“马”为“牛”，或者系统替换“吃草且会奔跑”、“动物”、“马”三者，都不影响推论的有效，词项：“所有”、“是”、“所以”构成了这里的推理形式，一般化这个形式如下：

所有M是P

S是M

所以，S是P

我们再看下面的例子：

所有吃草且会奔跑的都是兔子

马是吃草且会奔跑的

所以，马是兔子

“马是兔子”这当然是荒谬的说法，但这的逻辑应用没有问题，结果的荒谬是因为前提“所有吃草且会奔跑的都是兔子”是荒谬的，纯粹逻辑并不关心前提，结论是否荒谬，也不关心兔子、马这些词汇是指称什么。逻辑只关注推导的结构与形式是否符合规定，符合规定就是有效的。

“荒谬”是个日常，感受上带有情绪的一个词汇，在逻辑里正式说法是“假”。论述时的每一陈述句或者为“真”，或者为“假”，为“真”或为“假”称为语句的真值。真值中的“真”、“假”通常用“1”、“0”表示。我们在二种意义讨论“真”与“假”，一种是经验的真值，其意义是语句的描述是否与事实相符，这是通过实际的验证来证实的；一种是逻辑的真值，逻辑上从前提语句推理得到的语句，称为后承语句，前提语句为真而且推理有效，后承语言真值=1，这里后承语句的真值是逻辑上的真值。对于构建认知，经验的真值才是终极的标准，只是人类理论的抽象性与实际环境的复杂性，不一定存在无争议可实施的验证方法。存在万有引力定律，惯性定律场景就很难真实地存在，理论上这样构建仍是可行的，但想找到或创造合外力为零的情况来验证，这看上去没有现实性。水星近日点的异常进动被认为是对广义相对论的证明，很多人不确信这一点，因为并没有完整地考虑所有因素并精确地进行了计算，比如没有考虑太阳风的影响。公理演绎系统的公理最初认为是不证自明的，非欧几里德几何出现后，公理失去了这种必然性，公理的真被认为是假说性的，公理演绎系统的应用只是种尝试，在其扩展中一直有效，就保障了其存在的基础，有失效的地方则证明这种尝试是需要改进的或放弃的。逻辑学家们有时也争论：“真值”这个概念是否没有“逻辑有效”这个概念恰当。

日常语言中“逻辑”一词用法可以代表通常所说的自然语言的混乱状况。对专业些的人士，“逻辑”一词指现代逻辑学的逻辑：有效推理论证的形式；对一些人，这指自然语言中不能脱离语义的自然语言逻辑；对另一些人，是指归纳逻辑的内容；对多数人是不加区分地应用。说“不合逻辑”可能是指未遵守有效推理论证的方式，或不够严谨；或是指论证的前提不成立；或是指语句描述与经验不符。

亚里士多德做出了初步的逻辑规范，但在自然语言里应用亚里士多德的逻辑是困难的，原因是自然语言词汇语义上的歧义性，想想“逻辑”一词的在实际中的用法，在语义无明确界定基础上进行的推理、证明或辩论，结果将是从混乱走向新的混乱。

鉴于自然语言在严谨应用时难于避免的混乱，德国哲学家与数学家莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz。1646.7-1716.11)想到创立一门通用语言，这种语言的使用形式与逻辑规则一致，这样推理变成一种演算，当争论发生时，我们可以像在算术里那样算一算就得到确定的结果。

1879年德国数学家、逻辑学家和哲学家弗雷格(Friedrich Ludwig Gottlob Frege，1848.11-1925.7)出版了《概念文字》（英译：Concept Writing）一书，开始具体实现莱布尼茨的想法。弗雷格的设想不仅是能模仿算术实现机械的推理运算，他的设想首先是创建一门表达思想概念的语言。

陈述句在逻辑里称为命题。命题作为一个整体的单位时，经常用一个小写字母来表示，如p、q、s…。弗雷格参考数学函数的概念改写了命题的格式。跳过弗雷格的术语与形式，用今天通用的表示法，命题的形式是P（x）、或P（x、y）。其中x、y 为项，是命题要表述的对象，P（）称为谓词，表示一种性质或关系，类似于一个函数。我们先说x、y是常项的情况，自然语句“小明是小学生”命题形式表示为“是小学生（小明）”，自然语句“狮子追逐斑马”命题形式可表示为“追逐（斑马、狮子）”。逻辑上我们应用“是小学生（小明）”命题时，是一个描述，同时也是一个判断，判定p是一个事实且p =‘小明是小学生’，即认为命题：“是小学生（小明）”=1，这是在实证的意义上说的。

弗雷格还引入了量词：∀为全称量词，∃为存在量词。引入量词后，x、y就可以表示变项，∀ x：P（x）表示所有x代表的常项，都使P（x）=1。如果用x表示学生，可以构造这样的命题∀ x：要做作业（x），翻译为自然语句就是：所有的学生都要做作业。∃ x：P（x）表示存在x代表的常项，使P（x）=1。如果用x 表示鸟类，可以构造命题∃ x：不会飞（x），翻译为自然语句就是：存在不会飞的鸟。

在弗雷格之前，1854年，英国数学家乔治·布尔（George Boole，1815.11-1864.12）出版了《思维规律的研究》（An Investigation of The Laws of Thought）一书。在这本书里布尔提出可用于命题联结的运算：与（合取）、或（析取）、非（否定）运算，逻辑里形式表示为"∧"、"∨"、"┐"，语义上与下述三个日常词汇接近：并且（and）、或者（or）、否定（not），当然不能用这三词汇来理解这三个运算，"∧"、"∨"、"┐"，可通过真值表无歧义地定义。为了表述方便，下面的论述里的命题先简单写为p、q。

 

1与运算：∧

P	q	p∧q
1	0	0
1	1	1
0	0	0
0	1	0

 

2或运算：∨

P	q	p∨q
1	0	1
1	1	1
0	0	0
0	1	1

 

3非运算┐

P	┐q
1	0
0	1

 

从真值表的定义，可以发现，或运算的1∨1=1与“或者”一词的自然语义是有区别的，我或者乘飞机去北京，或者坐高铁去北京，我不可能乘飞机同时又坐高铁去北京，一般的语义下1∨1=0。为适配这种语义，逻辑里另外定义了异或运算，逻辑里语法形式表示为：⊕

异或运算：⊕

P	q	p⊕q
1	0	1
1	1	0
0	0	0
0	1	1

我们不需要引入独立的异或运算，所有其它的运算可以用∧、∨、┐定义出

p⊕q=(┐p∧q) ∨(p∧┐q)

同样我们可以使用真值表来验证定义是否成立

P	q	┐P	┐q	(┐p∧q)	(p∧┐q)	(┐p∧q) ∨(p∧┐q)
1	0	0	1	0	1	1
1	1	0	0	0	0	0
0	0	1	1	0	0	0
0	1	1	0	1	0	1

从日常实践来说，经常用到的是这种运算——蕴涵运算，逻辑里语法形式表示为：⇒，语义对应的日常词汇是：如果…那么，真值表如下：

蕴涵运算⇒

P	q	p⇒q
1	1	1
1	0	0
0	0	1
0	1	1

可定义为：┐p∨q。

对蕴涵运算理解的要点是：P为真时，q为真，才成立；P为假时，q无论真假， p⇒q都为真，后半句是让人困惑的地方，学术界也有争论，你可以理解为这只是个约定。

蕴涵运算的增强运算是等价运算，逻辑里语法形式表示为：⇔语义对应的日常词汇是：当且仅当，真值表如下：

等价运算⇔

P	q	p⇔q
1	1	1
1	0	0
0	0	1
0	1	0

可定义为：(p∧q) ∨（ ┐p∧┐q）。

对等价运算理解的要点是：p⇔q 相当于 p⇒q ∧q ⇒ p

上面我们是从与、或、非运算定义出异或、蕴涵、等价运算，如果需要还可以再定义其它的运算。我们也可以不从与、或、非运算出发，定义其它的运算，而是从比如蕴涵、非运算出发，定义出与、或、及其它的运算，如何选择只是逻辑上的约定与方便。

有了量词、命题形式、命题联结方式，就可以应用这些形式来表示观念或事实。实用的中的场景主要是先有自然语言的语句描述，再转换为这种逻辑语法表示。这种转换对简单关系的语句也不复杂，对复杂的语句或意思，除非经过了一定的训练外，这种转换并不容易，阅读可能更困难。

由逻辑语法表达的多个事实与观念组成了前提，接下来是进行推理、证明。一串的推理得到结论，或揭示出矛盾，这就构成一个证明。每一步的推理是对逻辑表达式进行转换，比如说表达式中有“┐┐q”部分，你可以用“q”来替换，这是平时所说的：否定之否定就是肯定。逻辑上的说法是 “┐┐q” 与“q”形成等价的关系：┐┐q⇔q，等价符号二边可以相互替代。说到逻辑推理，普通人最容易想到的是“如果……那么……”的句式，这是假言推理的一种形式，完整描述是：如果p那么q，p，所以q，专业的形式是（p⇒q∧p）⇒q，这是个蕴涵关系，只有右边可以替代左边。 逻辑里┐┐q⇔q与（p⇒q∧p）⇒q称为重言式，更多的重言式如下：

┐┐q⇔ q

p∧( q∨s) ⇔ (p∧q)∨( p∧s)

p∨ ( q∧s) ⇔ (p∨q) ∧ ( p∨s)

┐(p∧q) ⇔┐p∨┐q

┐(p∨q) ⇔┐p∧┐q

p∨ (p∧q) ⇔p

p∧ (p∨q) ⇔p

┐（∀x）P（x）⇔（ ∃x）（┐Px）

┐（∃x）P（x）⇔（∀x）（┐Px）

p∧q⇒ p

p∧q⇒ q

p ⇒ (p∨q)

q ⇒ (p∨q)

┐p∧(p∨q) ⇒ q

（p⇒ q∧p）⇒q

（p⇒ q）∧（q ⇒ s）⇒(p⇒ s)

这里只是列举了部分重言式。由重言式组成的集合就构成一个逻辑推理的系统。推理过程就是不断应用系统里的重言式进行替换的操作。有那些重言式，这些重言式如何构成推理系统是逻辑学家研究的课题。

由字母、特定的符号、表达式，重言式构成一个可演算的符号系统： x、P()、p、q、∀ 、∃、∧、∨、┐、⇒、p ⇒ (p∨q)、q ⇒ (p∨q)……。这个符号系统传统上的一个说法是刻画了我们的思维规则，持这种观点的问题在于逻辑学家们发展出了太多这样的系统，除一阶谓词逻辑外，还有：高阶的逻辑、时序逻辑、模态逻辑，甚至如p ∧┐p⇔1排中律不适用的逻辑，似乎不同的假设与应用场景都可以去发展一个逻辑的门类。

任何一个逻辑门类在现代都是形式化为一个符号的系统，形式化的意思是以字母、抽象符号、字母符号形成的表达式、表达式间规则来建立系统，所用到的符号不实指具体意义，所建立的系统只是规定符号间的关系与可能的操作。这时候需要小心区分：逻辑与逻辑的符号系统。逻辑是思维时或符号表述内容时需要遵循的规则，这些规则在今天是用符号系统的形式来呈现，用本书偏好的说法：逻辑外化为一个符号系统。这样 做的理由是：恰当的符号与明确的规定，可以清晰呈现所针对的关系，所依据的前提，进而可用符号来模拟各种可能的情形，同时，以符号系统存在的逻辑，让逻辑本身以及对逻辑的研究工作变得可交流。 逻辑符号系统不能认为就是逻辑本身。除非至始至终逻辑只有唯一的符号表现形式，那这唯一的符号表现形式可以认为就是逻辑，但这不是真的，同样的逻辑可以有不同的符号方式或符号系统来表现。另外，逻辑在实际中的作用，不一定是逻辑符号系统的应用，更多时候是人脑直接遵循并应用逻辑的，而且普通人学不学逻辑学对其逻辑思维的影响并不是至关重要的，这可类比于对语法的学习。逻辑与逻辑符号系统的区分，也说明人脑里的逻辑心理运转与符号的形式推导是不同的二个范畴，对此我们可说的不多。逻辑以符号形式来表现，这带来了理解上的问题。谈到亚里士多德逻辑，一般人会想到是讲“因为……所以”的，逻辑的典型词项代表了逻辑，而且逻辑与自然语言是不可分的。到了符号化、形式化的现代逻辑，多数人可能就困惑了，何以出现这些符号的形式。没有更好的办法，逻辑在今天只能是以符号系统形式存在。

 （作者（LQS）注：连续地阅读会发现，系列的文章不是对各个问题的解释，而是新的理解视角）