算法——动态规划算法（Java代码实现）

动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

动态规划与分治法不同的是：

1. 适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。(即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解)
2. 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

背包问题

有一个背包，背包总承重3斤

物品	重量	价格
电脑	3	3000
音响	4	4000
吉他	1	2000

要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出，以及装入的物品不能重复。

思路分析：
背包问题主要是指- 一个给定容量的背包、若干具有-定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是:每种物品都有无限件可用)这里的问题属于01背包，即每个物品最多放-一个。而无限背包可以转化为01背包。

将其进行制表：

这个时候我们只需要根据原先给出的图用代码进行转换既可以了。
算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据 w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、 w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i] [j] 表示在前个物品中能够装入容量为 j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果:

• v [i] [0] = v [0] [j] =0 表示第一行和第一列都是0
• 当 w[i] > j 时，v [i] [j] = v [i-1] [j] 当准备加入新增的商品的容量大于当前背包的容量 i 时，就直接使用上一个单元格的装入策略
• 当 j >= w[i]时，v[i] [j] = max {v[i-1][j]，v[i - 1][j - w[i-1 ]] + v[i]} 当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量，
  // 装入的方式:
  v[i-1][j]：就是上一个单元格的装入的最大值
  v[i]：表示当前商品的价值
  v[i-1][j-w[i]]: 装入i-1商品， 到剩余空间 j - w[i] 的最大值

代码实现：

package DynamicProgramming;

public class knapsack {
	public static void main(String[] args) {
		int[] w = { 3, 4, 1 };// 物品的重量
		int[] value = { 3000, 4000, 2000 }; // 物品的价格
		int m = 4; // 总容量
		int n = value.length; // 物品的个数
		// 使用一个二维数组用于存放搭配方案
		int[][] path = new int[n + 1][m + 1];
		// 使用二维数组表示 表格
		int[][] v = new int[n + 1][m + 1];
		// 对数组进行初始化
		for (int i = 0; i < v.length; i++) {
			v[i][0] = 0;
		}
		for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {
			v[0][i] = 0;
		}
		// 对表格进行处理
		for (int i = 1; i < v.length; i++) {
			for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {
				if (w[i - 1] > j) {
					v[i][j] = v[i - 1][j];
				} else {
					// v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], v[i - 1][j - w[i - 1]] + value[i - 1]);
					if (v[i - 1][j] < v[i - 1][j - w[i - 1]] + value[i - 1]) {
						v[i][j] = v[i - 1][j - w[i - 1]] + value[i - 1];
						path[i][j] = 1;
					} else {
						v[i][j] = v[i - 1][j];
					}
				}
			}
		}
		for (int i = 0; i < v.length; i++) {
			for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {
				System.out.print(v[i][j] + " ");
			}
			System.out.println();
		}
		//从后往前进行遍历
		int i = path.length-1;
		int j = path[0].length-1;
		while(i>0&&j>0) {
			if (path[i][j]==1) {
				System.out.printf("第%d个物品放入背包\n",i);
				j-=w[i-1];
			}
			i--;
		}
	}
}