OpenSSL密码库算法笔记——第 3.2.3章 利用Montgomery约化实现
现在我们来看看Montgomery乘法。简单来说，Montgomey乘法就是将经典乘法（见§1.2.1）和Montgomery约化（见§2.3）结合起来（可以参见[10,算法14.36]）。
下面来简要介绍一下其算法思想。
和Montgomery约化一样，首先取一个正整数R > m，满足gcd(R,m)=1，通常取
以简化计算。给定要做乘法的两个数x和y，
，记
，
。 …………（3.1）
的Montgomery约化是
，等价于
。
为了便于理解，举个例子简单解释一下。假设要计算
，
。首先，需要计算。然后，计算
的Montgomery约化，即
。接着，
的Montgomery约化是
。最后，
的Montgomery约化是
。乘以
再模去m即得到。
整数x要转化成Montgomery数需要计算。在做Montgomery乘法前，所有输入和常数都应该转化成Montgomery数。事后，即做完所有的乘法后，再转化到整数，即乘以再模去m。因此，先来说明下Montgomery数与普通大整数之间的转换。将整数x映射成Montgomery整数需要计算，即计算
的Montgomery约化
。
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#define BN_to_montgomery(BIGNUM *r, const BIGNUM *a, BN_MONT_CTX *mont)
功能： 将大数映射成Montgomery整数
输入： a【大数】，mont【Montgomery模数】
输出： r ← a×R mod mont
返回： 1【正常】 or 0【出错】
出处： bn.h
备注： 宏定义。#define BN_to_montgomery(r,a,mont,ctx)\
BN_mod_mul_montgomery((r),(a),&((mont)->RR),(mont))
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特殊地，当大整数退化为一个字时，将字映射成Montgomery整数的函数如下：
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#define BN_TO_MONTGOMERY_WORD(BIGNUM *r, BIGNUM *w, BN_MONT_CTX * mont)
功能： 将字映射成Montgomery整数
输入： w【字】，mont【Montgomery模数】
输出： r ← w×R mod mont
返回： 1【正常】 or 0【出错】
出处： bn_exp.c
备注： 宏定义。
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将Montgomery整数
返回成普通整数，需要计算
，即做的Montgomery约化。
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int BN_from_montgomery(BIGNUM *ret, const BIGNUM *a, BN_MONT_CTX *mont, BN_CTX *ctx)
功能： 将Montgomery整数返回成普通整数
输入： a【被模数】，mont【Montgomery模数】，ctx【临时变量】
输出： ret ← a/R mod mont
返回： 1【正常】 or 0【出错】
出处： bn_mont.c
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有了普通大整数与Montgomery数之间的转换，接下来该看看大家关心的Montgomery乘法了。
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int BN_mod_mul_montgomery(BIGNUM *r, const BIGNUM *a, const BIGNUM *b, BN_MONT_CTX *mont)
功能： 利用Montgomery约化做模乘
输入： a【被乘数】，b【乘数】，mont【Montgomery模数】
输出： r ← a×b mod mont
返回： 1【正常】 or 0【出错】
出处： bn_mont.c
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注意：这个Montgomery乘法其实是包含了模平方在内的。在函数体内部会判断a与b是否相等，如果a＝b则先做平方再做Montgomery约化，否则，先做乘法再做Montgomery约化。