MIT18.06线性代数课程笔记19：矩阵行列式公式与代数余子式

课程简介

18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课，课程视频以及相关资料请见https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm。

课程笔记

基于 MIT18.06线性代数课程笔记18：矩阵行列式的性质 中三个基础性质推出的矩阵行列式公式。然后介绍了利用代数余子式从n维到1维的递归计算行列式方法。

1. 2维矩阵的简单例子

对于二维矩阵

A=[a,bc,d]

利用性质三对第一行进行拆分有

det(A)=|a,bc,d|=|a,0c,d|+|0,bc,d|

进一步利用性质三对第二行进行拆分有

det(A)=|a,0c,0|+|a,00,d|+|0,bc,0|+|0,b0,d|

利用性质6，性质7以及性质2可以得到二维矩阵的行列式公式

det(A)=0+ad−bc+0=ad−bc

2. 多维矩阵行列式计算

如上所述，对于 n 维方阵，分别对 n 行利用性质三进行拆分，可以得到 det(A) 为 nn 个矩阵行列式的和，其中每个矩阵每一行有且仅有一个元素来自于 A ，其他均为0。

利用性质6可知，若存在两行同时选取某一列中的元素，则该矩阵的行列式为0，从而得到 det(A) 最多为 n! 个非零矩阵行列式的和（ n 列的排列组合）。

利用性质2和性质7可以求得 n! 个行列式为 n 个 A 中元素的乘积，正负由性质2决定。

简单地说 det(A)=∑p∈perm(1⋯n)±a1p1×a2p2×⋯×anpn 。其中 perm(1⋯n) 为 1 到 n 的排列组合的集合，共 n! 个元素。

3. 代数余子式

注意到

det(A)=∑p∈perm(1⋯n)±a1p1×a2p2×⋯×anpn                                     =∑i=1n±a1i∑p∈perm({1⋯n}/{i})±a2p1×a3p2×⋯×anpn−1

即可以对矩阵的任意一行进行拆分，将矩阵行列式写成该行每一列的元素（共 n 个）与该元素的代数余子式乘积的和。

元素 aij 的代数余子式 Cij 定义为绝对值等于矩阵 A 除去第 i 行第 j 列剩余的 n−1 维矩阵的行列式， i+j 为偶数时为正， i+j 为奇数时为负，从而有

det(A)={∑nj=1aijCij−∑nj=1aijCij(i+j)%2=0(i+j)%2=1

因为当第 j 列第 i 行的元素被选中之后，该行该列的其他元素都不能被选中，否则拆分出的子矩阵行列式为0。