利用分治方法的经典问题——最近点对问题(Closest pair of points problem)
minDist = infinity
for i = 1 to length(P) - 1
for j = i + 1 to length(P)
let p = P[i], q = P[j]
if dist(p, q) < minDist:
minDist = dist(p, q)
closestPair = (p, q)
return closestPair
这其中如何合并是关键。根据递归的方法可以计算出划分的两个子集中所有点对的最小距离 d i s l e f t , d i s r i g h t dis_{left}, dis_{right} disleft,disright,再比较两者取最小值,即 d i s = m i n ( d i s l e f t , d i s r i g h t ) dis = min(dis_{left}, dis_{right}) dis=min(disleft,disright)。那么一个点在集合A,一个在集合B中的情况,可以针对此情况,用之前分解的标准值,即按照x坐标(或者y)从小到大排序后的中间点的x坐标作为mid,划分一个 [ m i d − d i s , m i d + d i s ] [mid - dis, mid + dis] [mid−dis,mid+dis]区域,如果存在最小距离点对,必定存在这个区域中。
之后只需要根据 [ m i d − d i s , m i d ] [mid - dis, mid] [mid−dis,mid]左边区域的点来遍历右边区域 [ m i d , m i d + d i s ] [mid, mid + dis] [mid,mid+dis]的点,即可找到是否存在小于dis距离的点对。
但是存在一个最坏情况,即通过左右两个区域计算得到的dis距离来划分的第三区域可能包含集合所有的点,这时候进行遍历查找,时间复杂度仍然和brute force方法相同,都为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。因此需要对此进行深一步的考虑。
1985年Preparata和Shamos在给出该问题的一个分治算法并且还具体分析了在 [ m i d − d i s , m i d + d i s ] [mid - dis, mid + dis] [mid−dis,mid+dis]区域中出现的情况,若(p,q)是Q的最近点对,p在带域左半部分,则q点必在下图所示的 δ ∗ 2 δ \delta *2\delta δ∗2δ长方形上,而在该长方形上,最多只能由右边点集的6个点。每个点对之间的距离不小于 δ \delta δ。
此结论很好证明,通过在 δ ∗ 2 δ \delta *2\delta δ∗2δ上以 2 δ 3 ∗ δ 2 \frac{2\delta}{3} *\frac{\delta}{2} 32δ∗2δ划成6个小长方形
用反证法来证明,假设存在大于6个点,则必有一个或多个小长方形存在两个及以上点,而小长方形的最长距离是为对角线长度,为: s q r t ( 2 δ 3 ∗ 2 δ 3 + δ 2 ∗ δ 2 ) = 5 δ 6 < δ sqrt(\frac{2\delta}{3} *\frac{2\delta}{3} + \frac{\delta}{2}*\frac{\delta}{2}) = \frac{5\delta}{6} < \delta sqrt(32δ∗32δ+2δ∗2δ)=65δ<δ。最长距离都小于 δ \delta δ,与之前的条件不符合,故最多有6个点。借此,可以将可能的线性时间缩小到常数级,大大提高了平均时间复杂度。
1998年,由周玉林、熊鹏荣、朱洪教授提出了平面最近点对的一个改进算法,针对Preparata-Shamos算法提出的6个点,又证明其实只需要4个点就可以确定最近点对距离,该证明提出2个定理,利用更加准确的半径画圈,证明了只要对左半域上的每个点p,检验右半域y坐标与p最近的至多4个点即可(上下个两个)。具体证明可以参考《求平面点集最近点对的一个改进算法》。
根据以上的优化,可以在合并时,通过检测与左半域点p的y坐标相邻的2个或者3个,即使用4点或者6点来检测,一般为了省事,只求与p点y坐标上界或者下界右半域连续的6个、4个点即可。
在分解和合并时,可能存在按照x轴、y轴进行排序的预处理 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn),该问题在解决阶段只做提取的操作为 Θ ( n ) Θ(n) Θ(n),递推式为:
T ( n ) = { 1 n < = 3 2 T ( n 2 ) + O ( n ) n > 3 T(n) = \begin{cases} 1 & n <= 3 \\ 2T(\frac{n}{2}) + O(n) & n > 3 \end{cases} T(n)={12T(2n)+O(n)n<=3n>3
计算后得到整体时间复杂度为: O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)
struct point {
double x;
double y;
point(double x, double y) :x(x), y(y) {}
point() { return; }
};
bool cmp_x(const point & A, const point & B) // 比较x坐标
{
return A.x < B.x;
}
bool cmp_y(const point & A, const point & B) // 比较y坐标
{
return A.y < B.y;
}
double distance(const point & A, const point & B)
{
return sqrt(pow(A.x - B.x, 2) + pow(A.y - B.y, 2));
}
/*
* function: 合并,同第三区域最近点距离比较
* param: points 点的集合
* dis 左右两边集合的最近点距离
* mid x坐标排序后,点集合中中间点的索引值
*/
double merge(vector & points, double dis, int mid)
{
vector left, right;
for (int i = 0; i < points.size(); ++i) // 搜集左右两边符合条件的点
{
if (points[i].x - points[mid].x <= 0 && points[i].x - points[mid].x > -dis)
left.push_back(points[i]);
else if (points[i].x - points[mid].x > 0 && points[i].x - points[mid].x < dis)
right.push_back(points[i]);
}
sort(right.begin(), right.end(), cmp_y);
for (int i = 0, index; i < left.size(); ++i) // 遍历左边的点集合,与右边符合条件的计算距离
{
for (index = 0; index < right.size() && left[i].y < right[index].y; ++index);
for (int j = 0; j < 7 && index + j < right.size(); ++j) // 遍历右边坐标上界的6个点
{
if (distance(left[i], right[j + index]) < dis)
dis = distance(left[i], right[j + index]);
}
}
return dis;
}
double closest(vector & points)
{
if (points.size() == 2) return distance(points[0], points[1]); // 两个点
if (points.size() == 3) return min(distance(points[0], points[1]), min(distance(points[0], points[2]),
distance(points[1], points[2]))); // 三个点
int mid = (points.size() >> 1) - 1;
double d1, d2, d;
vector left(mid + 1), right(points.size() - mid - 1);
copy(points.begin(), points.begin() + mid + 1, left.begin()); // 左边区域点集合
copy(points.begin() + mid + 1, points.end(), right.begin()); // 右边区域点集合
d1 = closest(left);
d2 = closest(right);
d = min(d1, d2);
return merge(points, d, mid);
}
int main()
{
int count;
printf("点个数:");
scanf("%d", &count);
vector points;
double x, y;
for (int i = 0; i < count; ++i)
{
printf("第%d个点", i);
scanf("%lf%lf", &x, &y);
point p(x, y);
points.push_back(p);
}
sort(points.begin(), points.end(), cmp_x);
printf("最近点对值:%lf", closest(points));
return 0;
}```