Polya定理学习总结

Burnside引理

设G是N={1，2，……，n}上的置换群，G在N上可引出不同的等价类，其中不同的等价类的个数为 1|G|∑g∈G c₁(g)，其中，c₁(g)是置换g中不边缘的个数，即g中1阶循环的个数。

理解

后续补更……

polya定理

设G={a1,a2,a3,……,ag}是n个对象的置换群，用m种颜色给这n个对象染色，不同的着色方案为： 1|G|{mc(a1)+mc(a2)+...+mc(ag)} ，其中c(ai)为置换ai的循环节数（i=1····g）。

理解

后续补更……(话说已经挖了很多坑了……米亚内)

polya染色主要类型

问题模型：假如用 m 种颜色对具有 n 个珠子的项链进行染色，问最终项链有多少种不同的组成方式。

1、旋转相同忽略不计

（1）基本理解

题意要求忽略旋转后颜色组成相同的情况。
可以考虑在旋转情况下，共有旋转0个位置、旋转1个位置、旋转2个位置……旋转n-1个位置等n种转发。
先用一种情况进行讨论，假设我们现在计算旋转k个位置之后和原来染色相同的种类数，那么间距为k的两个位置的染色情况是相同的，即第 i 个位置与 (i+k)%n 个位置的染色相同 ，同样可得第 i 个位置与第 (i+k*t)%n 个位置的染色情况相同，而 t 即是在旋转k个位置的情况下一个珠子所能旋转的次数，则 t 需满足 k*t%n=0，为排除掉所有的相同情况，t需要取得最小值，很显然，t=n/gcd(k,n)。
对于旋转k个位置的情况下，则构成了 i —>(i+k)%n —> (i+2*k)%n —>··· —>i 这样一个轨迹，在这个轨迹中珠子的颜色必须是相同的，那么我们只需要得到在旋转 k 个位置的情况下有多少个互不相交的轨迹，就是在 k 的置换下循环节的个数。由已经推知每个轨迹中珠子的个数是 t=n/gcd(k,n)，可得轨迹的个数就是 n/t=gcd(k,n) 了，即置换k下的循环节数，带入公式求解即可。

（2）优化

由（1）可得，在旋转 k 个位置下的循环节个数是 gcd(k,n)，则最终结果可化为 1n∑nk=1mgcd(k,n) ，但是当 n 的数量级很大时，将无法在规定时间内依次枚举求解。但是我们可以通过把相同的gcd值合并起来进行一起计算。
假设我们现在要统计gcd(k,n)=d 的个数，显然 d 是 k 和 n 的约数，设 k=d*t(t即是我们所求的gcd(k,n)=d的个数)，则 d=gcd(k,n)=gcd(d*t,n)=d*gcd(t,n/d)。所以gcd(t,n/d)=1，所以 t 的值即是与n/d互质的数，即欧拉函数 φ(n/d)。
由此原公式便可以转化为： 1n∑d|nmdφ(n/d) 。

对应题目

POJ 2154 Color

2、对称相同忽略不计

（1）在珠子个数是奇数的情况下，对称轴是一个珠子到圆心的连线，共有n条，对任一对称轴下的情况而言，对称轴上的一个珠子形成一个循环，其他的 n-1个珠子分别以对称轴对称形成(n-1)/2个循环，循环节的个数是 1+(n-1)/2=(n+1)/2;
（2）在珠子个数是偶数的情况下，对称轴有两种情况：
<1>对称轴是两个珠子的连线，共有n/2条对称轴，对任一对称轴而言，对称轴上的两个珠子分别形成一个循环，剩余n-2个珠子形成(n-2)/2个循环，则共有2+(n-2)/2 =（n+2）/2个循环节；
<2>对称轴是两个珠子中点与中心的连线，共有n/2条对称轴，关于对称轴对称的两个珠子形成一个循环节，共n/2个循环节。
对应带入公式即可。

对应题目

POJ 2409 Let it Bead

POJ 1286 Necklace of Beads