数据结构与算法之美笔记01----复杂度分析上

1.概念

数据结构:就是指一组数据的存储结构
算法:就是指操作数据的一种方法
要学习的常见的10种数据结构:数组、链表、栈、队列、散列表、二叉树、堆
跳表、图、trie树
要学习的常见的10种算法:递归、排序、二分查找、搜索、哈希算法、贪心算法、分治算法、回溯算法、动态规划、字符串匹配算法等

2.复杂度的分析

复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率和数据规模之间的增长关系，可以粗略地表示，越高阶复杂度的算法，执行效率越低

（1）大O复杂度表示法
T(n) = O(f(n))
T(n):代表代码的执行时间
n:表示数据规模的大小
f(n):代表没行会代码执行的次数总和
O:表示代码的执行时间T(n)与f(n)表达式成正比

（2）时间复杂度分析
1. 只关注循环执行次数最多的一段代码
我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。

2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
   平行用加法法则
   注意：只要是一个常量的执行时间，与n的规模无关，无论它多大，我们都当做.

3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
   嵌套用乘法法则
   （3）几种常见时间复杂度实例分析
   对于刚罗列的复杂度量级，我们可以粗略地分为两类，多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：O(2^n)和O(n!)。
   <1> O(1)
   只要代码的执行时间不随n的增大而增长，这样时间代码的复杂度我们都记作O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行代码，其时间复杂度也是O(1)。比如这段代码，即便有3行，它的时间复杂度也是O(1），而不是O(3)。

int i=6;
int j =8;
int sum =i+j;

<2> O(logn)、O(nlogn)
对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度。举例说明:

int i=1;
while(i<=n){
i=i*2;

从代码中可以看出，变量i的值从1开始取，每循环一次就乘以2。当大于n时，循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗？实际上，变量i的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来，就应该是这个样子的：

2^0  2^1  2^2  2^3  2^4  ...  2^k ...  2^x =n

所以，我们只要知道x值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过2x=n求解x这个问题。x=log2^n，所以，这段代码的时间复杂度就是O(log2 ^n)。
现在，我把代码稍微改下，你再看看，这段代码的时间复杂度是多少？

  i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 3;
 }

很简单就能看出来，这段代码的时间复杂度为O(log3n)。实际上，不管是以2为底、以3为底，还是以10为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为O(logn)。为什么呢？对数之间是可以互相转换的，log3^n就等于log3 ^2log2 ^ n，所以O(log3 ^n)=O(Clog2 ^n)，其中C=log3 ^ 2是一个常量。基于我们前面的一个理论：在采用大O标记复杂度的时候，可以忽略系数，即O(Cf(n))=O(f(n))。所以，O(log2 ^ n)就等于O(log3 ^ n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为O(logn)。

O(nlogn)就很容易理解了。如果一段代码的时间复杂度是O(logn)，我们循环执行n遍，时间复杂度就是O(nlogn)了。而且，O(nlogn)也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是O(nlogn)。

<3>O(m+n)、O(m*n)

代码的复杂度由两个数据的规模来决定。

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }
 
  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }
 
  return sum_1 + sum_2;
}

从代码中可以看出，m和n是表示两个数据规模。我们无法事先评估m和n谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是O(m+n)。
针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m)+T2(n)=O(f(m)+g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)*T2(n)=O(f(m)*f(n))。

空间复杂度

空间复杂度的全称是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。
常见的空间复杂度就是O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。