1 简介
语言模型是自然语言处理领域的基础问题，其在词性标注、句法分析、机器翻译、信息检索等任务中起到了重要作用。简而言之，统计语言模型表示为：在词序列中，给定一个词 wt 和上下文中所有词 wt−1 ，这个序列出现的概率，如下式，
P^(wT1)=∏t=1TP^(wt|wt−11)(1)
其中， wt 是序列 wji 中第 t 词， wji=(wi,wi+1,…,wj) ， P^(wt|wt−11) 可以使用 P^(wt|wt−n+1t−1) 近似，这就是n-gram语言模型，详细请阅读[我们是这样理解语言的-2]统计语言模型。随着深度学习的发展，神经网络相关研究越来越深入，神经网络语言模型（Neural Network Language Model，NNLM）越来越受到学术界和工业界的关注，本文将系统介绍下 NNLM 的建模及其应用。
2 神经网络语言模型
NNLM 最早由Bengio系统化提出并进行了深入研究[Bengio, 2000, 2003]。当然分开来看，(1) distributed representation最早由Hinton提出(1985), (2)利用神经网络建模语言模型由Miikkulainen and Dyer，Xu and Rudnicky分别在1991和2000提出。
NNLM 依赖的一个核心概念就是词向量（Word Embedding）。词向量源于Hinton在Learning distributed representations of concepts提出的Distributed Representation，Bengio将其引入到语言模型建模中，提出了NNLM。那么，我们不禁要问，什么是词向量呢？
2.1 词向量
简而言之，词向量是用一个向量来表示一个词，一定程度上可以用来刻画词之间的语义距离。
a、词表中的词 i 表示为一个词向量 C(i),C(i)∈Rm ，其维度 m 一般取值为 30,50,60,100 等值。
b、词向量为神经网络的一类参数，可以通过训练得到，同时基于词向量可以表示词序列 wt1 的联合分布。
为了得到词向量，我们需要在给定训练数据集情况下，训练得到目标模型 f(wt,….,wt−n+1)=P^(wt|wt−n+1t) 。而模型需要满足的约束，即对于任意的 wt−11,∑|V|i=1f(wi,wt−1,…,wt−n+1)=1,f>0 ，表示 wt 与上下文 wt−1,…,wt−n+1 所有可能的组合的概率和为1。 如此，我们可以将 f(wt,….,wt−n+1) 分解成两部分：
a、词表中任意单词 wi 表示为词向量，由此构建了一个 m×|V| 的矩阵 C 。
b、词的概率分布可以通过矩阵 C 进行变换得到。函数 g 是组合上下文中词向量 (C(wt−n+1),C(wt−n),…C(wt−1)) 构建一个词 wt 的条件概率分布，即函数 g 的输出为一个向量，其第 i 个分量表示当前词 wt 等于词表中第 i 个词 Vi 的条件概率， P^(wt=Vi|wt−11) ，函数 f 组合了 C 和 g 得到最终的输出结果。
2.2求解目标
一般而言，神经网络语言模型的优化目标是最大化带正则化项的Log-Likelihood，其中参数集合为 θ =(C,ω),ω 为神经网络的参数。
L=1T∑tlogf(wt,wt−1,…wt−n+1;θ)+R(θ)(2)
3 Bengio NIPS’03 Model
3.1 模型结构
Bengio使用前馈神经网络（FFNN，Feed Forward Neural Network）表示 f ，其结构如下：
图 1 Bengio Yoshua提出的神经网络结构
上图中，输出层为Softmax，保证满足概率分布的约束：
P^(wt|wt−1,…,wt−n+1)=eywt∑ieywi(3)
其中， ywi 是每个词非正规化的 log 概率值， y 的值是通过下式计算得到，参数分别为 b,W,U,d,H ：
y=b+Wx+Utanh(d+Hx)(4)
W 通常设置为0，即输出层和输入层不存在直接联系，输入向量 x 为上下文环境对应的词向量的拼接组合。在模型中，令 θ=(b,U,d,H,C) ，其中， d 是输入层到隐藏层的偏置（长度为 |V| ）， U 为隐藏层到输出层的参数（大小为 |V|×h ）， H 为输入层到隐藏层的参数， b 为隐藏层到输出层的偏置（长度为 |h| ）， C 是词向量矩阵（大小为 |V|×m ），总共的参数为 |V|(1+nm+h)+h(1+(n−1)m) 。
模型求解方式采用随机梯度上升（SGA，Stochastic Gradient Ascent），SGA类似于SGD，仅目标函数存在min和max的区别。
θ←θ+ϵ∂logP^(wt|wt−11)∂θ(5)
3.2发展方向
Bengio在论文的Feature Work部分提出了神经网络语言模型的可能改进方向，在后续研究者（包括他本人）的工作中多有所体现。
a、将神经网络分解成为小的子网络，比如利用词的聚类等。
b、加速SoftMax中的正则项Z的快速求导
c、仅对一部分输出进行梯度传播。
d、引入先验知识，比如语义信息（WordNet），语法信息（low-level: POS, high level:句法结构）等。
e、词向量可解释性。
f、解决一词多义问题（Polysemous）。
4 Hierarchical Neural Language Model
基于前述工作，Bengio又提出了层次结构的神经网络语言模型，用于加速模型的训练和推断过程。
4.1 模型结构
Hierarchical Neural Language Model的表达式如下：
f(wt,wt−1,wt−2,…,wt−n+1)=e−g(wt,wt−1,wt−2,…,wt−n+1)∑ve−g(v,wt−1,wt−2,…,wt−n+1)(6)
其中 g(wt,wt−1,wt−2,…,wt−n+1) 可以看作能量函数。
同上文一致，令 C 为词向量矩阵（word embedding matrix）， Ci 为词 i 对应的向量，上述能量函数可以表示为，
g(wt,wt−1,wt−2,…,wt−n+1)=aTtanh(c+Wx+UCTv)(7)
上式中， xT 为 x 的转置， a,b,c,W,U 为对应的参数向量和矩阵， x 是通过拼接词 wt 的上下文中词向量得到。
令 h 为模型中隐藏层的单元数，我们可以计算得到整个模型的参数个数为 (n–1)hd+|V|h(d+1) 。假定 h 为100，词表 |V| 的大小20,000，Context的大小 n 为5，可知第一部分为12,000，第二部分为6,000,000，计算量依然很大。
4.2 参数求解
模型求解参考了Goodman加速最大熵的语言模型训练过程中的工作，将词表中的词进行一个预处理（按类层级划分），这样可以达到不错的加速比， O(Vlog2V√) 。这样在计算式（2）时，可以转换为，
P(wt|wt−1,wt−2,…,wt−n+1)=∏j=1L(wt)−1P(bj(wt)|b1(wt),…,bj−1(wt),wt−1,wt−2,…,wt−n+1)(8)
其中， L(wt) 为树的深度， bj(wt) 是 wt 属于类别 j 的指示变量。按照上述形式，计算 log(wt|wt−1,wt−2,…,wt−n+1) 和 ▽log(wt|wt−1,wt−2,…,wt−n+1) 的复杂度和 L(wt) 成正比（相比 V ，要小很多）。
5 Log Bi-Linear
Hinton在研究RBM时，结合神经网络语言模型提出了三种基于RBM的语言模型，FRBM（Factored RBM）、Temporal FRBM、Log-Bilinear Language Model，其中Log Bi-Linear为前两者的简化版本，本文中仅介绍Log-BiLinear Language Model。
5.1 模型结构
类似于Log-Linear模型，Log Bi-Linear模型在能量函数部分（EXP上面那个部分的相反数）加入了一个双线性项，注意这里的R是词向量构成的矩阵，C代表此之前的连接权值。
E(wn;w1:n−1)=−(∑i=1n−1viRCi)RTvn–bTrRTvn–bTvvn(9)
其中， Ci 表示 wi 和 wn 之间的连接关系的参数， R 表示字典中词向量的矩阵，第 i 行表示第 i 个单词的词向量， vi 表示一个和字典长度相同的指示向量，即词 i 对应词向量可以表示为 viR ； br,bv 表示对应的偏置。从上述能量函数可以看出，它是一个双线性函数，需要注意的是这里的能量函数是RBM的幂数部分，其对应的语言模型形式为，
P(wn|w1:n−1)=1Zcexp(−E(wn;w1:n−1))(10)
其中， Zc=∑wnexp(−E(wn;w1:n−1)) 。
Log Bi-Linear的模型结构见下图，
图2 Log Bi-Linear模型结构
上图表示，每个词 vi 在词向量矩阵中找到对应的词向量表示，然后通过链接矩阵和当前词（图中 v3 ）关联，其中关联关系是使用能量函数表示。
5.2 参数求解
套用RBM的求解框架，Log Bi-Linear可以采用Contrast Divergence Learning求解，其参数 (Ci,R) 的梯度表达式，
对于 Ci ，
∂∂CilogP(wn|w1:n−1)=<RTviR>D−<RTvivTnR>M(11)
对于 R ，
∂∂RlogP(wn|w1:n−1)=<∑i=1n=1(vnvTiRCi+vivTnRCTi)+vnbTr>D–<∑i=1n–1(vnvTiRCi+vivTnRCTi+vnbTr>M(12)
这里 <.>D 表示data distribution P^ ， <.> 表示model distribution P 。
6 Hierarchical LBL
Hinton将Bengio的Hierarchical NNLM和Log Bi-Linear思想结合，提出了Hierarchical Log Bi-Linear Language Model。
6.1 模型结构
Hierarchical LBL是将Hierarchical NNLM和Log Bi-Linear结合起来，对应的语言模型形式，
Log Bi-Linear部分可以简要表示为，
r^=∑i=t–1t−n+1Cirwi(13)
P(wt=w|wt−1:t−n+1)=exp(r^Trw+bw)∑jexp(r^Trj+bj)(14)
其中， b 为对应的偏置项(bias)， r^ 是上下文中的词向量加权，权值为当前词t和上下文中词的关系权值 C ， rw 为词w对应的词向量。
由以上，可以推出HLBL的模型为，
P(wn|w1:n–1)=∏iP(di|qi,w1:n−1)(15)
P(di=1|qi,w1:n−1)=σ(r^Tqi+bi)(16)
其中， di 词 w 的在层次（树）结构的编码， qi 是编码路径中第 i 个节点的向量， σ 为Logistic方程。
这里可以允许存在多种层次结构，即每个词对应多种编码， P(wn|w1:n–1) 可以将词的所有编码方式求和，即
P(wn|w1:n–1)=∑d∈D(w)∏iP(di|qi,w1:n−1)(17)
其中， D(w) 为词w的编码集合，这词采用多种编码方式能够更好刻画词的不同形式和“语义”，这种思路在后续的SENNA中也有体现。
6.2 参数求解
该模型参数求解可以直接套用Log Bi-Linear和Hierarchical NNLM的方式，其中不同之处，Hinton提出了一种新的简单的构建层次结构的方法：通过递归的使用二维的高斯混合模型（GMM，Gaussian Mixture Model）进行聚类，直到每个cluster中仅包含两个词，这样所有的结果就构成一个二叉树。
7 SENNA
SENNA中不仅仅提出了word embedding的构建方法，同时还从神经网络语言模型角度系统去解决自然语言处理任务（POS，Chunking，NER，SRL）。SENNA中，每个词可以直接从Lookup Table中直接查找到对应的向量。
LTW(w)=<W>1w(18)
其中， dwrd 是词向量的维度， W∈Rdwrd×|D| 为词向量的矩阵， <W>1w 表示取矩阵 W 的第 w 列。SENNA中，表示句子或者词序列仅将对应的词向量拼接起来得到对应的向量。
SENNA中采用HLBL中同一个词存在不同的词向量，用于刻画不同的语义和语法用途，一个词的词向量最终由各种形态下的词向量组合起来，比如，一个词可以有word stemming的向量，本身的向量（这些向量可能来自不同的Lookup table）等，需要将这些向量结合起来表示这个词。SENNA直接将这些向量拼接起来，构成了一个维度为 dTwrd=∑kdkwrd 。
7.1 模型结构
SENNA包含两种网络构建方式（1）window approach（图3）（2）sentence approach（图4）。
（1）window approach
window approach是一个前馈神经网络，包含线性层、HardTanh层。window approach的输入是包含当前词在内的窗口大小 ksz 的序列，拼接所有词的向量得到的表示向量，维度 dwrd×ksz ，
图3 window approach
f1θ=<LTw([w]T1)>dwint=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪<W>1[w]t−dwin/2…<W>1[w]t…<W>1[w]t−dwin/2⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(19)
从图3可知， f1θ 输入下一层或者几层线性层，记为 flθ 。
flθ=Wlfl−1θ+bl(20)
其中， Wl∈Rnlhu×nl−1h,bl∈Rnlhu 为待训练参数， nlhu 为第 l 层隐藏单元数。
SENNA中包含了一个特殊的层，HardTanh层，它的输入是前一个线性层。HardTanh层是一个非线性层，形式如下，
[flθ]=HardTanh([fl−1θ]i)(21)
其中，
HardTanh(x)=⎧⎩⎨−1x1ifx≤ −1if−1≥x≤1ifx>1(22)
SENNA的输出层为输入序列对应的得分，大小具体任务有关。
（2） sentence approach
window approach能够完成绝大部分自然语言处理任务，但是在SRL上表现不佳。因此，SENNA提出了sentence approach用于适应SRL。sentence approach采用的卷积网络结构，除了线性层和HardTanh层外，还有一个卷积层和一个Max层。
<flθ>1t=Wl<fl−1θ>dwint+bl ∀t(23)
[flθ]i=maxt[fl−1θ]i,t1≤i≥nl−1hu(24)
7.2 参数估计
上述神经网络的参数均通过MLE + SGD得到，我们将参数记为 θ ，训练数据记为 T , 则参数估计记为，
θ←∑(x,y)∈Tlogp(y|x,θ)(25)
其中， x 为输入的句子或词序列（window approach）对应的表示向量， y 表示具体任务（POS，NER，Chunking，SRL）的tag， p(.) 为神经网络的输出结果，箭头右边为data log likelihood。
SENNA求解方式分为两种，word-level log-likelihood，sentence-level log-likelihood。
（1）word-level log-likelihood
在给定输入 x 的情况下，神经网络输出一个得分 [fθ(x)]i ，这里 i 为输出的tag编号。这个得分不满足概率的约束，需要对它进行归一化，这里采用了softmax方程，
p(i|x,θ)=e[fθ]i∑je[fθ]j(26)
为方便运算，对上述等式取log值，记分母部分为 logaddj[fθ]j=log(∑je[fθ]j) ，得到的形式带入data log likelihood中，最终形式为交叉熵（cross entropy）。但是，由于在句子中当前词和相邻的词的tag存在关联性，上述方案并非最好的求解方式，所以SENNA提出了sentence-level log-likelihood。
（2）sentence-level log-likelihood
在输入的句子中，有些tag不能在某些tag之后。从序列的角度看，tag和tag之间的转换是有条件的，这种转换是需要满足约束的。记， [fθ] 为句子 [x]T1 的网络输出得分， [fθ]i,t 为输入序列中第 t 个词，输出为第 i 个tag的得分。基于上述考虑，SENNA引如一个转换矩阵 [A] 用于保存tag和tag之间的转换关系， [A]i,j 表示从tag i到tag j的得分，转换得分需要通过从数据中训练得到，故参数为 θ^=θ⋃{[A]i,j,∀i,j} 。按照上述处理，序列的得分是神经网络得分加上转换得分，
s([x]T1,[i]T1,θ^)=∑t=1T([A][i]t−1,[i]t+[fθ][i]t,t)(27)
类似于word-level的处理，最终输出需要满足概率分布的约束，sentence level仅对所有可能的tag路径进行softmax归一化，我们定义这个结果比值为tag路径条件概率。对条件概率取log后，
logp([y]T1|[x]T1,θ^)=s([x]T1,[i]T1,θ^)–logadd∀[j]T1s([x]T1,[j]T1,θ^)(28)
上式中，logadd操作拥有特殊的性质可以递归的求解，可以方便的得到递推公式，
终止条件为，
logadds([x]T1,[f]T1,θ^)=logaddiδT(i)(29)
上述过程理解可以参照HMM的前向算法。在训练时，对所有的样本 ([x]T1,[y]T1) 最大化data log likelihood，注意其中 p(.) 为tag路径条件概率。
SENNA的推断部分采用的是Viterbi算法，推断过程理解可以参照HMM的推断过程，形式为，
argmax[j]T1s([x]T1,[f]T1,θ^)(30)
类似于HMM中，也需要按照参数求解过程进行递归处理，但是每步需要用max操作替代logadd操作，然后回溯得到解。viterbi的过程理解可以参照动态规划问题，找出状态转移方程即可。
本文链接：[我们是这样理解语言的-3]神经网络语言模型
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