抽象函数性质归纳

抽象函数性质归纳 以及 二次函数恒成立常考类型

一、对称性

1. 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

2. 若函数$y=f(x)$是偶函数，则$f(x+a)=f(-x-a)$；若函数$y=f(x+a)$是偶函数，则$f(x+a)=f(-x+a)$.

3. 对于函数$y=f(x)$($x\in R$),$f(x+a)=f(b-x)$恒成立,则函数$f(x)$的对称轴是函数$x=\frac{a+b}{2}$;两个函数$y=f(x+a)$与$y=f(b-x)$ 的图象关于直线$x=\frac{a+b}{2}$对称.

4. 若$f(x)=-f(-x+a)$,则函数$y=f(x)$的图象关于点$(\frac{a}{2},0)$对称; 若$f(x)=-f(x+a)$,则函数$y=f(x)$为周期为$2a$的周期函数.

5. 函数$y=f(x)$的图象关于直线$x=a$对称$\iff f(a+x)=f(a-x)$$\iff f(2a-x)=f(x)$.

6. 函数$y=f(x)$的图象关于直线$x=\frac{a+b}{2}$对称$\iff f(a+mx)=f(b-mx)$$\iff f(a+b-mx)=f(mx)$.

7. 函数$y=f(mx-a)$与函数$y=f(b-mx)$的图象关于直线$x=\frac{a+b}{2m}$对称.

8. 函数$y=f(x)$和$y=f^{-1}(x)$的图象关于直线y=x对称.

9. 若将函数$y=f(x)$的图象右移$a$、上移$b$个单位，得到函数$y=f(x-a)+b$的图象；若将曲线$f(x,y)=0$的图象右移$a$、上移$b$个单位，得到曲线$f(x-a,y-b)=0$的图象.

二、周期性

几个函数方程的周期(约定a>0)

• $f(x)=f(x+a)$，则$f(x)$的周期T=a；

• $f(x)=f(x+a)=0$，或$f(x+a)=\frac{1}{f(x)}(f(x)̸=0)$，或$f(x+a)=-\frac{1}{f(x)}$($f(x)̸=0$),或$\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-f^2(x)}=f(x+a),(f(x)\in \left[0,1\right])$,则$f(x)$的周期T=2a；

• $f(x)=1-\frac{1}{f(x+a)}(f(x)̸=0)$，则$f(x)$的周期T=3a；

• $f(x_1+x_2)=\frac{f(x_1)+f(x_2)}{1-f(x_1)f(x_2)}$且$f(a)=1(f(x_1)\cdot f(x_2)̸=1,0<|x_1-x_2|<2a)$，则$f(x)$的周期T=4a；

• $f(x)+f(x+a)+f(x+2a)f(x+3a)+f(x+4a)$$=f(x)f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)$,则$f(x)$的周期T=5a；

• $f(x+a)=f(x)-f(x+a)$，则$f(x)$的周期T=6a.

类比“三角函数图像”得：

• 若$y=f(x)$图像有两条对称轴$x=a,x=b(a̸=b)$，则$y=f(x)$必是周期函数，且一周期为$T=2|a-b|$.

• 若$y=f(x)$图像有两个对称中心$A(a,0),B(b,0)(a̸=b)$，则$y=f(x)$是周期函数，且一周期为$T=2|a-b|$.

• 如果函数$y=f(x)$的图像有下一个对称中心$A(a,0)$和一条对称轴$x=b(a̸=b)$，则函数$y=f(x)$必是周期函数，且一周期为$T=4|a-b|$.

• 如果$y=f(x)$是R上的周期函数，且一个周期为$T$，那么$f(x\pm nT)=f(x)(n\in Z)$

三、二次函数恒成立

设$f(x)=a{x}^2+bx+c(a̸=0)$

1. 当$a>0$时

• $f(x)>0$,$x\in [\alpha ,\beta ]$上恒成立$\{\begin{array}{l}-\frac{b}{2a}<\alpha \\ f(\alpha )>0\end{array}$ 或者$\{\begin{array}{l}\alpha \le -\frac{b}{2a}\le \beta \\ \Delta <0\end{array}$ 或者$\{\begin{array}{l}-\frac{b}{2a}>\beta \\ f(\beta )>0\end{array}$，
• $f(x)<0$,$x\in [\alpha ,\beta ]$上恒成立$\{\begin{array}{l}f(\alpha )<0\\ f(\beta )<0\end{array}$

3. 当$a<0$时

• $f(x)>0$,$x\in [\alpha ,\beta ]$上恒成立$\{\begin{array}{l}f(\alpha )>0\\ f(\beta )>0\end{array}$
• $f(x)<0x\in [\alpha ,\beta ]$上恒成立$\{\begin{array}{l}-\frac{b}{2a}<\alpha \\ f(\alpha )>0\end{array}$或者$\{\begin{array}{l}\alpha \le -\frac{b}{2a}\le \beta \\ \Delta <0\end{array}$ 或者$\{\begin{array}{l}-\frac{b}{2a}>\beta \\ f(\beta )<0\end{array}$