从芝诺悖论到微积分

芝诺悖论（Zeno's paradox）是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。现在我们说起这个来知道这是非常伟大的提问，但是，曾经，人们普遍认为芝诺悖论不过是一些诡辩。英国数学家B．罗素感慨的说：“在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了。死后得不到应有的评价的最典型例子莫过于埃利亚的芝诺了。他虽然发明了四个无限微妙无限深邃的悖论，后世的大批哲学家们却宣称他只不过是个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩。遭到两千多年的连续驳斥之后这些诡辩才得以正名

今天，从微积分的角度来解读一下芝诺悖论，主要是想检验一下自己对微积分的理解。

追乌龟

阿基里斯（又名阿喀琉斯）是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！

“乌龟” 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。”

分析：来看下在阿喀琉斯追乌龟的过程中，二者之间的距离是如何变化的。乌龟的速度，是阿喀琉斯的十分之一，当阿喀琉斯每追上一个新起点的时候，乌龟与他的距离就差原来的9倍，当阿喀琉斯不断追新起点的时候，乌龟与他的距离就是9倍9倍的缩短，他们的距离越来越接近，直到二者之间的距离可以忽略不计的时候，也就是趋近于零的时候，阿喀琉斯也就追上了乌龟。

这个其实就是微分的观点，不断的细分，误差就会越来越小，直到度量不出来，小到可以忽略不计，无限趋近于零，我们就认为得到了结果，并且接受这个结果，就够了。

数学的美妙在于对生活的抽象，是生活的符号化，数学的是对准确和不准确的平衡。这也是最近学习数学的很大的一个观念转变。数学是不准确的，同时又是准确的。不准确的是，永远有误差；准确的是，你想要多准确，就有多准确，只要你任意给定一个可接受的误差范围，它就是准确的