【数据结构】堆排序问题及其时间复杂度

【问题描述】：关于排序的问题，我们之前见过冒泡排序，其时间复杂度为O(N^2)，效率很低，那有没有高效一点的排序方法？我们就要说到堆排序了，本博客中主要讨论堆排序的实现，以及其时间复杂度分析。

【解题思路】：我们知道如果一个二叉树满足堆的特性，那么堆顶元素则一定是整个堆中最大或最小的元素（这取决于大堆或小堆），那如果我们需要将一组数据进行升序排序，那么我们将这组元素拿来创建一个大堆，堆顶元素为整个数组中最大元素。然后利用堆删除的思想，将堆中最后一个节点的元素与堆顶元素进行交换，现在我们就将这个最大的元素放到了最后一个节点的位置上，接下来将新置换过去的堆顶元素调整至合适位置，再将堆中有效节点个数减一，现在堆顶元素就是整个数组中次大的那个了，同理进行接下来的步骤，最终我们就会得到一个按升序排好序的堆了。

接下来以升序排序为例，来看一下具体的代码实现：

堆调整（大堆）：

void Swap(HPDatatype* pLeft, HPDatatype* pRight) {
	HPDatatype tmp = *pLeft;
	*pLeft = *pRight;
	*pRight = tmp;
}

void HeapAdjust(int* array, int size, int parent) {
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < size) {
		if (child + 1 < size&&array[child + 1] > array[child])
			child += 1;
		if (array[parent] < array[child]) {
			Swap(&array[parent], &array[child]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
	}
}

堆排序：

void HeapSort(int* array, int size) {
	//大堆--->升序
	//小堆--->降序
	int root = ((size - 2) >> 1);//找倒数第一个非叶节点
	for (; root >= 0; --root)
		HeapAdjust(array, size, root);
	//排序，采用堆删除的思想
	int end = size - 1;
	while (end) {
		Swap(&array[end], &array[0]);
		HeapAdjust(array, end, 0);
		end--;
	}
}

如果是要降序排序的话，则在堆调整时取小的节点。

时间复杂度分析：

先看一下创建堆的时间复杂度：

需要调整的节点个数：N/2个。根据二叉树的性质我们可知终端节点数n0=度为2节点数n2+1，将常数1忽略掉可得：n0=n2。所有的n2都需要调整，所以需要调整的节点个数为总节点数N/2。

调整一次的时间复杂度：logN。完全二叉树共有N个节点，高度为log(N+1)，化简到logN，调整一次的时间复杂度最差情况需要调整二叉树的高度次，所以调整一次的时间复杂度为logN。

所以创建堆的时间复杂度为：N/2logN，化简到NlogN。

然后再来看一下排序时的时间复杂度：排序时我们采用的是删除堆的思想，而删除堆的时间复杂度也是NlogN。

所以堆排序的时间复杂度为：2NlogN，化简到NlogN。