神经网络及卷积神经网络的训练——反向传播算法
神经网络的训练过程，就是通过已有的样本，求取使代价函数最小化时所对应的参数。代价函数测量的是模型对样本的预测值与其真实值之间的误差，最小化的求解一般使用梯度下降法（Gradient Decent）或其他与梯度有关的方法。其中的步骤包括：
- 初始化参数。
- 求代价函数关于参数的梯度。
- 根据梯度更新参数的值。
- 经过迭代以后取得最佳参数，从而完成神经网络的训练。
其中最重要的步骤就是求梯度，这可以通过反向传播算法（back propagation）来实现。
单个神经元的训练
单个神经元的结构如下图。假设一个训练样本为 (x,y) 。在下图中， x 是输入向量，通过一个激励函数 hw,b(x) 得到一个输出 a ， a 再通过代价函数得到 J 。
f(W,b,x)=a=sigmoid(∑ixiwi+b) （公式1）
J(W,b,x,y)=12∥y−hw,b(x)∥2 （公式2）
这里激励函数以使用sigmoid为例，当然也可以使用其他的比如tanh或者rectived linear unit函数。要求的参数为 W 和 b 。
通过定义变量 z=∑ixiwi+b 可以将激励函数看做是两部分，如下图右图所示。第一部分是仿射求和得到 z , 第二部分是通过sigmoid得到 a 。
训练过程中，要求代价函数 J 关于 W 和 b 的偏导数。先求 J 关于中间变量 a 和 z 的偏导：
δ(a)=∂∂aJ(W,b,x,y)=−(y−a) （公式3）
δ(z)=∂∂zJ(W,b,x,y)=∂J∂a∂a∂z=δ(a)a(1−a) (公式4)
公式（4）中根据sigmoid函数的定义 σ(z)=11+e−z 可得 ∂a∂z=a(1−a) 。
再根据链导法则，可以求得 J 关于 W 和 b 的偏导数，即得 W 和 b 的梯度。
∇WJ(W,b,x,y)=∂∂WJ=∂J∂z∂z∂W=δ(z)xT (公式5)
∇bJ(W,b,x,y)=∂∂bJ=∂J∂z∂z∂b=δ(z) (公式6)
在这个过程中，先求 ∂J/∂a ,进一步求 ∂J/∂z ,最后求得 ∂J/∂W 和 ∂J/∂b 。结合上图及链导法则，可以看出这是一个将代价函数的增量 ∂J 自后向前传播的过程，因此称为反向传播（back propagation）。
多层神经网络的训练
多层网络的一个例子如下图。
假设第 l+1 层的输入和输出分别是 al 和 al+1 , 参数为 Wl 和 bl ，仿射结果为中间变量 zl 。注意第一层的输出 a1=x ,为整个网络的输入，最后一层的输出 aL 是代价函数的输入。
zl+1=WlxTl+bl （公式7）
al+1=sigmoid(zl+1) （公式8）
对多层网络的训练需要求代价函数 J 对每一层的参数求偏导。后向传播过程变为：
1，第一步，根据代价函数的定义，求 J 对 aL 的偏导 δ(a)L 。
2，在第 l+1 层，将误差信号从 al+1 传递到 zl+1 。
∂a(l+1)∂z(l+1)=a(l+1)(1−a(l+1)) (公式9)
3，第三步，将误差信号从第 l+1 层向第 l 层传播。
∂z(l+1)∂a(l)=W(l),∂z(l+1)∂W(l)=a(l),∂z(l+1)∂b(l)=I (公式10)
4, 对第 l 层可得 J 对 a(l) 和 z(l) 的偏导数。
δ(a)l=∂J∂a(l)={−(y−a(l)),∂J∂z(l+1)∂z(l+1)∂a(l)=(W(l))Tδ(z)l+1,if l=Lotherwise (公式11)
δ(z)l=∂J∂z(l)=∂J∂a(l)∂a(l)∂z(l)=δ(a)la(l)(1−a(l)) (公式12)
5, 最后可得 J 对第 l 层的参数 Wl 和 bl 的梯度：
∇W(l)J(W,b,x,y)=∂∂W(l)J=∂J∂z(l+1)∂z(l+1)∂W(l)=δ(z)l+1(a(l))T (公式13)
∇b(l)J(W,b,x,y)=∂∂b(l)J=∂J∂z(l+1)∂z(l+1)∂b(l)=δ(z)l+1 (公式14)
后向传播的一般形式
1，将整个神经网络加上代价函数的结构看做是一串函数（每一层对应一个函数）级联而成的一个函数，其中的每一个函数的导数都可通过数学表达式解析求得：
hθ(x)=(f(L+1)∘...∘f(l)θl∘...∘f(2)θ2f(1))(x) (公式15)
其中 θ 是该神经网络的参数。 f(1)=x , f(L+1)=hθ(x) ,并且对任何一个 l ，相邻两层间函数的导数 ∂f(l+1)∂f(l) 都是已知的。
2，根据链导法则，求代价函数对任何一个 l 层 J 关于 f(l) 的导数，即通过数值计算将误差信号后向传递到第 l 层。
δl=∂∂f(l)J(θ,x,y)=∂J∂f(l+1)∂f(l+1)∂f(l)=δl+1∂f(l+1)∂f(l) （公式16）
3，在第 l 层求 J 关于该层参数 θ(l) 的梯度。
∇θ(l)J(θ,x,y)=∂∂θ(l)J=∂J∂f(l)∂f(l)∂θ(l)=δl∂f(l)∂θ(l) 。（公式17）
其中第 l 层对应的函数关于该层的参数的导数 ∂f(l)∂θ(l) 是已知的。
4，将所有样本的梯度相加得到总梯度。
∇θ(l)J(θ)=∑mi=1∇θ(l)J(θ,x(i),y(i)) (公式17)
对于不同的网络结构，在第2步和第3步中根据具体的 ∂f(l+1)∂f(l) 和 ∂f(l)∂θ(l) 就可以求得所有参数的梯度。
卷积神经网络的训练
卷积神经网络（CNN）的结构可阅读上一篇博文。CNN的基本层包括卷积层和池化层，二者通常一起使用，一个池化层紧跟一个卷积层之后。这两层包括三个级联的函数：卷积，求sigmoid函数（或使用其他激励函数），池化。其前向传播和后向传播的示意图如下：
后向传播需要求得这三个函数的导数。sigmoid函数前面已经讨论过，这里讲一讲其他两个函数的处理：
卷积函数的导数及后向传播
假设一个卷积层的输入向量是 x ，输出向量是 y , 参数向量（卷积算子）是 w 。从输入到输出的过程为：
y=x∗w （公式18）
y 的长度为 |y|=|x|−|w|+1 。 y 中每一个元素的计算方法为：
yn=(x∗w)[n]=∑|w|i=1xn+i−1wi=wTxn:n+|w|−1 (公式19)
卷积过程的示意图如下：
y 中的元素与 x 中的元素有如下导数关系：
∂yn−i+1∂xn=wi , ∂yn∂wi=xn−i+1,for1≤i≤|w|. （公式20）
进一步可以得到 J 关于 w 和 x 的导数：
δ(x)n=∂J∂y∂y∂xn=∑|w|i=1∂J∂yn−i+1∂yn−i+1∂xn=∑|w|i=1δ(y)n−i+1wi=(δ(y)∗flip(w))[n] （公式21）
δ(x)=δ(y)∗flip(w) （公式22）
∂∂wiJ=∂J∂y∂y∂wi=∑|x|−|w|+1n=1∂J∂yn∂yn∂wi=∑|x|−|w|+1n=1δ(y)nxn+i−1=(δ(y)∗x)[i] （公式23）
∂∂wJ=δ(y)∗x （公式24）
因此，通过 δ(y) 与flip( w )的卷积就可得到 J 关于 x 的导数 δ(x) ，通过 δ(y) 与 x 的卷积就可计算出 w 的梯度 ∂∂wJ 。
池化函数的导数及后向传播
池化函数是一个下采样函数，对于大小为 m 的池化区域，池化函数及其导数可以定义为：
均值池化: g(x)=∑mk=1xkm , 导数为 ∂g∂xi={10if xi=max(x)otherwise
p范数池化 g(x)=∥x∥p=(∑mk=1|xk|p)1/p , 导数为 ∂g∂xi=(∑mk=1|xk|p)1/p−1|xi|p−1
下采样的后向传播过程为上采样，其示意图为：
该后向传播过程就是利用 g 的导数将误差信号传递到 g 的输入。
δ(x)(n−1)m+1:nm=∂∂x(n−1)m+1:nmJ=∂J∂yn∂yn∂x(n−1)m+1:nm=δ(y)ng′n (公式25)
δ(x)=upsample(δ(y),g′)=[δ(x)(n−1)m+1:nm] . （公式26）
有了上述求导公式，就能够将误差信号传递到每一层的输出，再通过每一层的函数对参数的导数，可求得参数的梯度。有了计算梯度的方法，再通过基于梯度的最优化，就能寻得最优值，完成训练过程。
PPT及参考资料：
1，http://www.slideshare.net/kuwajima/cnnbp
2，http://ufldl.stanford.edu/tutorial/