二维灰度地形图山脊线自动提取方法整理（MST）

概述

本方法的目标位快速，自动，准确地提取DEM格式图像中山脊线（或山谷线），其在水文地质工程应用方面有着特殊的意义。算法基本处理流程为：

1. 构建基于原始DEM图像的图G；
2. 对G中各边V赋予权值；
3. 按一定规则去除图G中环形连接边；
4. 对步骤三进行后处理，包括末端缩减，线段平滑等；
   

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2 图的构建

图论算法在计算机科学中扮演着很重要的角色，它提供了对很多问题都有效的一种简单而系统的建模方式。很多问题都可以转化为图论问题，然后用图论的基本算法加以解决。这里将“山脊线的判断提取”抽象为图论中最小生成树问题，可借鉴成熟的“kruskal”与“prim”方法求解问题。
对于任意图G，其是一个二元组（V,E），集合V中的元素称为图G的顶点，集合E的元素称为边。从原始DEM图像中按照预定间隔可得到M*N个采样点，即构成集合V。再将所有采样点按照8邻域或4邻域方式与邻近点连接后，得到集合E。此时，基于原始DEM图像的图G已构建完成，其中：
M = 原始图像宽/采样点间隔；
N = 原始图高宽/采样点间隔；
接下来我们将详细描述对集合E中边的“加权赋值”过程，本文一共提供三种可选方式：“高度加权”，“曲度加权”与“混合加权”。

2.1 高度

设ei为集合E中任意一条边，其端点为vi,1与vi,2，因此可得边ei权重为：Hei = (H vi,1+ H vi,2)/2。其中，H vi,1与H vi,2为对应采样点高度值。需要注意在实际情况中，由于原始DEM图像为8阶灰度，只能提供0-255共256级高程分辨率。在上述加权方法中会导致图中出现大量权重相同的边，从而使得最小生成树分支在方向上出现不可控现象。为避免这一问题，可参考文献《Approximating edges of source bodies from magnetic or gravity anomalies》提出的一种结合梯度加权的方式，将采样点权值分为高程值与梯度加权值两部分，从而拉伸其取值区间，增加图G中边ei的权重辨析度。

2.2 曲度

曲度加权计算方法如下，边{A，B}对应向量为d = [dx,dy] = A-B。A’与B’为分别为A’=A+d，B’=B-d。C为A，B的终点，则定义Kd如下：
Kd = (H B’ – HC’)-( HC’- H A’)
同理，在边{A，B}的正交方向（d ‘= [dy ,-dx]）上的到Kd’如下：
Kd’ = (HC’ –H c2)-( H c1- HC’)
最终曲度权值为C{A,B} = Kd’/| Kd |，注意，边{A，B}与{B，A}是完全一致的。

2.3 混合

由于“曲度加权”对于DEM图像表面的曲度与变化更加敏感，因此可以集合考虑 “高度加权”与“曲度加权”形式，如两者乘积，或两者的加权和。

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3 最小生成树

最小生成树定义为：在一给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v)代表连接顶点u与顶点v的边（即），而w(u, v)代表此边的权重，若存在T为E的子集（即）且为无循环图，使得的w(T)最小，则此T为G的最小生成树。
该类问题的成熟方法有“kruskal”与“prim”。其中，prim算法适合稠密图，其时间复杂度为O(n^2)，其时间复杂度与边得数目无关，而kruskal算法的时间复杂度为O(e*loge)跟边的数目有关，适合稀疏图。
由前面的图G构建方式可知，prim算法更适合解决本文所述问题。算法伪代码如下：

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4 后处理

在得到最小生成树G’后，还可以采取“末端缩减”与“线段平滑”等步骤是的主山脊线（或山谷线）更适合人眼观测。

4.1 末端缩减

在不破坏原最小生成树连接性的前提下，缩短各连线的末端，有效剔除细节分支。基于最小生成树的末端缩减伪代码如下：

4.2 平滑

由于构建图G时采用的8邻域连接方式，“末端缩减”后的主山脊线（或山谷线）会出现大量呈45度，90度或135度的不自然的“锯齿”。可以通过加权平均的方式来解决上述问题。设当前采样点水平坐标为C_Hor，垂直坐标为C_Ver，则加权后的坐标为：
C_Hor’ = SUM(N_Hori*Wi)/SUM(Wi)
C_Ver’ = SUM(N_ Veri*Wi)/SUM(Wi)
其中，N_Hori，N_Veri为邻近点i的水平与垂直坐标，Wi为邻近点i的权值。i取值为1到8，若i对应的采样点为无效点，则N_Hori，N_Veri与Wi均为0。实际处理效果如下：

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5 小结

较之PPA方法具有以下优点：
1. 可使用不同的采样点权重方法（高度，曲度与混合加权）进行处理；
2. 将问题转移到图论邻域，可直接套用成熟算法来解决问题；
3. 难很好地适应各种采样尺度与邻近位置关系（4邻域或8邻域）；
4. 计算更高效；