叶丙成-概率-chapter2-概率公理&条件概率

国立台湾大学叶丙成《机率》课程学习-chapter2-概率公理&条件概率
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2-1概率公理以及衍生性质

2.1.1概率公理

1. 公理：近代数学常以数条公理作为整套理论的基石
   好处是头过身过，公理常是不能被证明的基本性质
   概率三公理(axioms of probability)
2. 公理1:对任何事件$A$而言，$P(A)>=0$
3. 公理2:$P(S)=1$
4. 公理3:事件$A_1,A_2,\dots$互斥$\Rightarrow P(A_1\bigcup A_2\bigcup A_3\bigcup \dots )=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)+\dots$

2.1.2衍生性质

1. 若$E=\{o_1,o_2,\dots ,o_n\}$,则$P(E)=P(\{o_1\})+P(\{o_2\})+\cdots +P(\{o_n\})$
   证明：$E=\{o_1\}\bigcup \{o_2\}\bigcup \cdots \bigcup \{o_n\}$
   因为$\{o_1\},\{o_2\},\dots ,\{o_n\}$互斥
   $$\Rightarrow P(\{o_1\})+P(\{o_2\})+\cdots +P(\{o_n\})$$

2. $P(\varphi )=0$
   $$证明：S\bigcap \varphi =\varphi \Rightarrow S,\varphi 互斥$$
   $$又S=S\bigcup \varphi$$
   $$\Rightarrow P(S)=P(S\bigcup \varphi )=P(S)+P(\varphi )$$
   $$\Rightarrow P(\varphi )=0$$

3. $P(A)=1-P(A^c)$
   $$证明:A\bigcap A^c=\varphi \Rightarrow A,A^c互斥$$
   $$又由A\bigcup A^c=S$$
   $$\Rightarrow 1=P(S)=P(A\bigcup A^c)=P(A)+P(A^c)$$
   $$\Rightarrow P(A)=1-P(A^c)$$

4. $P(A)=P(A-B)+P(A\bigcap B)$
   $$证明：A=(A-B)\bigcup (A\bigcap B)$$
   $$\Rightarrow P(A)=P(A-B)+P(A\bigcap B)$$

5. $P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcap B)$
   $$P(A\bigcup B)=P(A-B)+P(A\bigcap B)+P(B-A)$$
   $$P(A\bigcup B)=P(A)-P(A\bigcap B)+P(B)$$

6. $C_1,C_2,\dots ,C_n$互斥，且有$C_1\bigcup C_2\bigcup \cdots \bigcup C_n=S$
   则对任意的事件$A$，有$P(A)=P(A\bigcap C_1)+P(A\bigcap C_2)+\cdots +P(A\bigcap C_n)$

7. 若$A\subset B$，则$P(A)<P(B)$

8. boole不等式
   对任意事件$n$个事件$A_1,A_2,\dots ,A_n$而言
   $P({\bigcup }_{i=1}^n{A}_i)\le {\sum }_{i=1}^{n}P(A_i)$

9. bonferroni不等式
   对任意事件$n$个事件$A_1,A_2,\dots ,A_n$而言
   $P({\bigcap }_{i=1}^n{A}_i)\ge 1-{\sum }_{i=1}^{n}P(A_i^c)$

2-2条件概率

1. 条件概率：$P(X|Y)$
   $X:$所关心之事件
   $Y:$条件(观察到的，已发生的事件)
   延伸：若某实验结果$o_i$与某条件$Y$不相交，则$P(o_i|Y)=0$

2. 延伸：若某条件事件$Y$包含数个实验结果：$Y=\{o_1,o_2,\dots o_n\}$
   $P(o_i|Y)=\frac{P(o_i)}{P(o_1)+P(o_2)+\dots |P(o_n)}=\frac{P(o_i)}{P(Y)}$
   考虑某事件$X=\{o_1,o_2,q_1,q_2\}$，已知条件事件$Y=\{o_1,o_2,o_3\}$发生了，则
   $P(X|Y)=P(o_1|Y)+P(o_2|Y)=\frac{P(o_1)}{P(Y)}+\frac{P(o_2)}{P(Y)}=\frac{P(\{o_1,o_2\})}{P(Y)}=\frac{P(X\bigcap Y)}{P(Y)}$

3. 终极延伸：若已知某条件事件$Y$发生了，则对于任何事件$X$，我们可计算其条件概率如下：
   $$P(X|Y)=\frac{P(X\bigcap Y)}{P(Y)}$$
   即有
   $$P(X\bigcap Y)=P(X|Y)\cdot P(Y)=P(Y|X)\cdot P(X)$$
   注：condition on;suppose;if;assuming;giving that

2-3条件概率之性质

对于任何事件$X$，以及任何条件事件$Y$，有

1. 性质1:$P(X|Y)=\frac{P(X\bigcap Y)}{P(Y)}\ge 0$
2. 性质2:$P(Y|Y)=\frac{P(Y\bigcap Y)}{P(Y)}=\frac{P(Y)}{P(Y)}=1$
3. 性质3:$A,B互斥\Rightarrow P(A\bigcup B|Y)=\frac{P(A)}{P(Y)}+\frac{P(B)}{P(Y)}=P(A|Y)+P(B|Y)$

2-4条件概率之全概率公式

若$C_1,C_2,\dots ,C_n$互斥，且$C_1\bigcup C_2\bigcup ,\dots ,\bigcup C_n=S$，则对任意事件$A$，我们有：
$$P(A)=P(A|C_1)\cdot P(C_1)+P(A|C_2)\cdot P(C_2)+\cdots +P(A|C_n)\cdot P(C_n)$$

2-5条件概率之贝式定理

若$C_1,C_2,\dots ,C_n$互斥，且$C_1\bigcup C_2\bigcup ,\dots ,\bigcup C_n=S$，则对任意事件$A$，我们有：
$$P(C_j|A)=\frac{P(A|C_j)\cdot P(C_j)}{P(A|C_1)\cdot P(C_1)+P(A|C_2)\cdot P(C_2)+\cdots +P(A|C_n)\cdot P(C_n)}$$
$证明：P(C_j|A)=\frac{P(C_j\bigcap A)}{P(A)}=\frac{P(A|C_j)\cdot P(C_j)}{{\sum }_{i=1}^{n}P(A|C_j)\cdot P(C_j)}$

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  作者：togetlife