递归算法时间复杂度分析与改善

递归算法大家都不陌生，当需要重复计算相同问题时，一般可以选择递归和循环两种算法。又因为递归实现起来代码比较简洁，所以通常都会使用递归来解决上述问题。比如斐波那契数列，再比如树的前序、中序、后续遍历算法。

递归算法虽然是有代码简洁这个优点，但是其缺点显著。因为递归函数是在执行过程中调用其自身，所以会占用大量的栈上空间，并且压栈和出栈都是有时间消耗的。所以从这一点上来看，递归的效率是不如循环。除了效率之外，递归还有一个相当明显的问题：可能会导致栈溢出。当递归调用的次数过大时，很有可能会出现栈溢出的情况。

我们这里暂不考虑空间复杂度，仅讨论其时间复杂度以及改善方法。

还是以经典的Fibonacci数列为例，其定义如下：

                               

1. 递归解法

对于这个题目，大家对于其算法已经十分熟悉，很快就能写出下面的代码：

long long Fibonacci(unsigned int n)
{
    if (n <= 0) {
        return 0;
    }

    if (n == 1) {
        return 1;
    }

    return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
}

我们以f(10)为例分析来分析递归的计算过程。f(10)=f(9)+f(8),  f(9)=f(8)+f(7) , f(8)=f(7)+f(6)。。。。可以用树形结构来表示整个计算过程

                                   

我们可以看出来，上面的树中，很多结点都是重复计算的。事实上，递归算法的时间复杂度是n的指数级的。这样的复杂度，一般来说是不可接受的。

2. 递归算法改善

上述的递归算法中，时间复杂度高的原因是过程中存在大量的重复计算。因此，如果能想办法避免重复计算，那么其时间复杂度便可以降下来。

比较简单的方法是采用逆序的递归算法：f(0)+f(1)=f(2), f(1)+f(2)=f(3)，以此类推便可以计算出f(n)。并且这个算法的时间复杂度很明显，就是O(n)。代码如下：

long long Fibonacci(unsigned int n)
{
    long long fibNMinusOne = 1;
    long long fibNMinusTwo = 0;
    long long fibN = 0;
    int result[2] = {0, 1};
    int i;

    if (n < 2) {
        return result[n];
    }
    
    for (i = 2; i < n; i++) {
        fibN = fibNMinusTwo + fibNMinusOne;
        fibNMinusTwo = fibNMinusOne;
        fibNMinusOne = fibN;
    }

    return fibN;
}