KMP算法的学习理解

有这样一道题目:KMP算法下,长为n的字符串中匹配长度为m的子串的复杂度为()

a.  O(N)

b.  O(M+N)

c.  O(N+LOGM)

d.  O(M+LOGN)


时间复杂度,在KMP算法下,应该为 O(M+N)

KMP算法是什么呢?


     Knuth-Morris-Pratt 字符串查找算法,简称为 “KMP算法”,常用于在一个文本串S内查找一个模式串P  的出现位置,这个算法由Donald Knuth、Vaughan Pratt、James H.  Morris三人于1977年联合发表,故取这3人的姓氏命名此算法。

引用以下的文章能很好地理解KMP算法的意义:原文地址链接点击这里

摘自:阮一峰先生的《字符串匹配的KMP算法


字符串匹配是计算机的基本任务之一。

  举例来说,有一个字符串"BBC ABCDAB ABCDABCDABDE",我想知道,里面是否包含另一个字符串"ABCDABD"?

  许多算法可以完成这个任务,Knuth-Morris-Pratt算法(简称KMP)是最常用的之一。它以三个发明者命名,起头的那个K就是著名科学家Donald Knuth。

  这种算法不太容易理解,网上有很多解释,但读起来都很费劲。直到读到Jake Boxer的文章,我才真正理解这种算法。下面,我用自己的语言,试图写一篇比较好懂的KMP算法解释。

  1.

  首先,字符串"BBC ABCDAB ABCDABCDABDE"的第一个字符与搜索词"ABCDABD"的第一个字符,进行比较。因为B与A不匹配,所以搜索词后移一位。

  2.

  因为B与A不匹配,搜索词再往后移。

  3.

  就这样,直到字符串有一个字符,与搜索词的第一个字符相同为止。

  4.

  接着比较字符串和搜索词的下一个字符,还是相同。

  5.

  直到字符串有一个字符,与搜索词对应的字符不相同为止。

  6.

  这时,最自然的反应是,将搜索词整个后移一位,再从头逐个比较。这样做虽然可行,但是效率很差,因为你要把"搜索位置"移到已经比较过的位置,重比一遍。

  7.

  一个基本事实是,当空格与D不匹配时,你其实知道前面六个字符是"ABCDAB"。KMP算法的想法是,设法利用这个已知信息,不要把"搜索位置"移回已经比较过的位置,继续把它向后移,这样就提高了效率。

  8.

  怎么做到这一点呢?可以针对搜索词,算出一张《部分匹配表》(Partial Match Table)。这张表是如何产生的,后面再介绍,这里只要会用就可以了。

  9.

  已知空格与D不匹配时,前面六个字符"ABCDAB"是匹配的。查表可知,最后一个匹配字符B对应的"部分匹配值"为2,因此按照下面的公式算出向后移动的位数:

  移动位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值

  因为 6 - 2 等于4,所以将搜索词向后移动4位。

  10.

  因为空格与C不匹配,搜索词还要继续往后移。这时,已匹配的字符数为2("AB"),对应的"部分匹配值"为0。所以,移动位数 = 2 - 0,结果为 2,于是将搜索词向后移2位。

  11.

  因为空格与A不匹配,继续后移一位。

  12.

  逐位比较,直到发现C与D不匹配。于是,移动位数 = 6 - 2,继续将搜索词向后移动4位。

  13.

  逐位比较,直到搜索词的最后一位,发现完全匹配,于是搜索完成。如果还要继续搜索(即找出全部匹配),移动位数 = 7 - 0,再将搜索词向后移动7位,这里就不再重复了。

  14.

  下面介绍《部分匹配表》是如何产生的。

  首先,要了解两个概念:"前缀"和"后缀"。 "前缀"指除了最后一个字符以外,一个字符串的全部头部组合;"后缀"指除了第一个字符以外,一个字符串的全部尾部组合。

  15.

  "部分匹配值"就是"前缀"和"后缀"的最长的共有元素的长度。以"ABCDABD"为例,

  - "A"的前缀和后缀都为空集,共有元素的长度为0;

  - "AB"的前缀为[A],后缀为[B],共有元素的长度为0;

  - "ABC"的前缀为[A, AB],后缀为[BC, C],共有元素的长度0;

  - "ABCD"的前缀为[A, AB, ABC],后缀为[BCD, CD, D],共有元素的长度为0;

  - "ABCDA"的前缀为[A, AB, ABC, ABCD],后缀为[BCDA, CDA, DA, A],共有元素为"A",长度为1;

  - "ABCDAB"的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA],后缀为[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B],共有元素为"AB",长度为2;

  - "ABCDABD"的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB],后缀为[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D],共有元素的长度为0。

  16.

  "部分匹配"的实质是,有时候,字符串头部和尾部会有重复。比如,"ABCDAB"之中有两个"AB",那么它的"部分匹配值"就是2("AB"的长度)。搜索词移动的时候,第一个"AB"向后移动4位(字符串长度-部分匹配值),就可以来到第二个"AB"的位置。

(完)

这一算法还是存在缺陷的。当“部分匹配”没有能匹配到ABCDAB后面的两个AB处时,是不能使用上述的“部分“匹配值”2。有时候在向后移动的时候移动得不够多,还需要往后匹配,就像上面文章第11点那里的情况。更糟糕的是,有时候需要连续往后跳。这说明,这个方法还能继续优化。

如果先理解简单的匹配算法,会更好理解KMP

强行匹配算法:

 int ViolentMatch(char* s, char* p)  

    {  

        int sLen = strlen(s);  

        int pLen = strlen(p);  

      

        int i = 0;  

        int j = 0;  

        while (i < sLen && j < pLen)  

        {  

            if (s[i] == p[j])  

            {  

                //①如果当前字符匹配成功(即S[i] == P[j]),则i++,j++      

                i++;  

                j++;  

            }  

            else  

            {  

                //②如果失配(即S[i]! = P[j]),令i = i - (j - 1),j = 0      

                i = i - j + 1;  

                j = 0;  

            }  

        }  

        //匹配成功,返回模式串p在文本串s中的位置,否则返回-1  

        if (j == pLen)  

            return i - j;  

        else  

            return -1;  

    }  

下面是真正的KMP算法详解

July老师的文章,说明得十分详细。这里不转载:原博客地址点击此处

下面粘贴 next [ j ] 的生成代码:
    void GetNext(char* p,int next[])  
    {  
        int pLen = strlen(p);  
        next[0] = -1;  
        int k = -1;  
        int j = 0;  
        while (j < pLen - 1)  
        {  
            //p[k]表示前缀,p[j]表示后缀  
            if (k == -1 || p[j] == p[k])   
            {  
                ++k;  
                ++j;  
                next[j] = k;  
            }  
            else   
            {  
                k = next[k];  
            }  
        }  
    }  


    //优化过后的next 数组求法  
    void GetNextval(char* p, int next[])  
    {  
        int pLen = strlen(p);  
        next[0] = -1;  
        int k = -1;  
        int j = 0;  
        while (j < pLen - 1)  
        {  
            //p[k]表示前缀,p[j]表示后缀    
            if (k == -1 || p[j] == p[k])  
            {  
                ++j;  
                ++k;  
                //较之前next数组求法,改动在下面4行  
                if (p[j] != p[k])  
                    next[j] = k;   //之前只有这一行  
                else  
                    //因为不能出现p[j] = p[ next[j ]],所以当出现时需要继续递归,k = next[k] = next[next[k]]  
                    next[j] = next[k];  
            }  
            else  
            {  
                k = next[k];  
            }  
        }  
    }  


//优化过后的next 数组求法 void GetNextval(char* p, int next[]) { int pLen = strlen(p); next[0] = -1; int k = -1; int j = 0; while (j < pLen - 1) { //p[k]表示前缀,p[j]表示后缀 if (k == -1 || p[j] == p[k]) { ++j; ++k; //较之前next数组求法,改动在下面4行 if (p[j] != p[k]) next[j] = k; //之前只有这一行 else //因为不能出现p[j] = p[ next[j ]],所以当出现时需要继续递归,k = next[k] = next[next[k]] next[j] = next[k]; } else { k = next[k]; } } } //下面是KMP求法,结合上面的next算法,那么整个KMP算法就算大功告成
    int KmpSearch(char* s, char* p)  
    {  
        int i = 0;  
        int j = 0;  
        int sLen = strlen(s);  
        int pLen = strlen(p);  
        while (i < sLen && j < pLen)  
        {  
            //①如果j = -1,或者当前字符匹配成功(即S[i] == P[j]),都令i++,j++      
            if (j == -1 || s[i] == p[j])  
            {  
                i++;  
                j++;  
            }  
            else  
            {  
                //②如果j != -1,且当前字符匹配失败(即S[i] != P[j]),则令 i 不变,j = next[j]      
                //next[j]即为j所对应的next值        
                j = next[j];  
            }  
        }  
        if (j == pLen)  
            return i - j;  
        else  
            return -1;  
    }  

 
 掌握KMP循序渐进把握好下面几点: 
   
  1. 如果模式串中存在相同前缀和后缀,即pj-k pj-k+1, ..., pj-1 = p0 p1, ..., pk-1,那么在pj跟si失配后,让模式串的前缀p0 p1...pk-1对应着文本串si-k si-k+1...si-1,而后让pk跟si继续匹配。
  2. 之前本应是pj跟si匹配,结果失配了,失配后,令pk跟si匹配,相当于j 变成了k,模式串向右移动j - k位。
  3. 因为k 的值是可变的,所以我们用next[j]表示j处字符失配后,下一次匹配模式串应该跳到的位置。换言之,失配前是j,pj跟si失配时,用p[ next[j] ]继续跟si匹配,相当于j变成了next[j],所以,j = next[j],等价于把模式串向右移动j - next [j] 位。
  4. 而next[j]应该等于多少呢?next[j]的值由j 之前的模式串子串中有多大长度的相同前缀后缀所决定,如果j 之前的模式串子串中(不含j)有最大长度为k的相同前缀后缀,那么next [j] = k。
    如之前的图所示:

 



回归到本文开始的问题,摘录July老师博客的解说:( 原博客地址点击此处
咱们来分析下KMP的时间复杂度。分析之前,先来回顾下KMP匹配算法的流程:

KMP的算法流程:

  • 假设现在文本串S匹配到 i 位置,模式串P匹配到 j 位置
    • 如果j = -1,或者当前字符匹配成功(即S[i] == P[j]),都令i++,j++,继续匹配下一个字符;
    • 如果j != -1,且当前字符匹配失败(即S[i] != P[j]),则令 i 不变,j = next[j]。此举意味着失配时,模式串P相对于文本串S向右移动了j - next [j] 位。

    我们发现如果某个字符匹配成功,模式串首字符的位置保持不动,仅仅是i++、j++;如果匹配失配,i 不变(即 i 不回溯),模式串会跳过匹配过的next [j]个字符。整个算法最坏的情况是,当模式串首字符位于i - j的位置时才匹配成功,算法结束。
    所以,如果文本串的长度为n,模式串的长度为m,那么匹配过程的时间复杂度为O(n),算上计算next的O(m)时间,KMP的整体时间复杂度为O(m + n)。








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