典型数据结构解析：B树，B+树，B*树

本文旨在总结个人所学以加深印象，其中表述及内容大量引用了July的博文：从B 树、B+ 树、B* 树谈到R 树

背景介绍：

动态查找树主要有：二叉查找树（Binary Search Tree），平衡二叉查找树（Balanced Binary Search Tree），红黑树(Red-Black Tree )，B-tree/B+tree(B~Tree)。前三者是典型的二叉查找树结构，其查找的时间复杂度O(log₂N)与树的深度相关，那么降低树的深度自然会提高查找效率。

但是咱们有面对这样一个实际问题：就是大规模数据存储中，实现索引查询这样一个实际背景下，树节点存储的元素数量是有限的（如果元素数量非常多的话，查找就退化成节点内部的线性查找了），这样导致二叉查找树结构由于树的深度过大而造成磁盘I/O读写过于频繁，进而导致查询效率低下（为什么会出现这种情况，待会在外部存储器-磁盘中有所解释），那么如何减少树的深度（当然是不能减少查询的数据量），一个基本的想法就是：采用多叉树结构（由于树节点元素数量是有限的，自然该节点的子树数量也就是有限的）。

也就是说，因为磁盘的操作费时费资源，如果过于频繁的多次查找势必效率低下。那么如何提高效率，即如何避免磁盘过于频繁的多次查找呢？根据磁盘查找存取的次数往往由树的高度所决定，所以，只要我们通过某种较好的树结构减少树的结构尽量减少树的高度，那么是不是便能有效减少磁盘查找存取的次数呢？那这种有效的树结构是一种怎样的树呢？

这样我们就提出了一个新的查找树结构——多路查找树。根据平衡二叉树的启发，自然就想到平衡多路查找树结构，也就是这篇文章所要阐述的第一个主题B~tree，即B树结构(后面，我们将看到，B树的各种操作能使B树保持较低的高度，从而达到有效避免磁盘过于频繁的查找存取操作，从而有效提高查找效率)。

B树：

释疑：具体讲解之前，有一点，再次强调下：B-树，即为B树。因为B树的原英文名称为B-tree，而国内很多人喜欢把B-tree译作B-树，其实，这是个非常不好的直译，很容易让人产生误解。如人们可能会以为B-树是一种树，而B树又是一种一种树。而事实上是，B-tree就是指的B树。特此说明。

1.B树概念

我们知道，B 树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种多叉（下面你会看到，相对于二叉，B树每个内结点有多个分支，即多叉）平衡查找树。与本blog之前介绍的红黑树很相似，但在降低磁盘I/0操作方面要更好一些。许多数据库系统都一般使用B树或者B树的各种变形结构，如下文即将要介绍的B+树，B*树来存储信息。

 B树与红黑树最大的不同在于，B树的结点可以有许多子女，从几个到几千个。那为什么又说B树与红黑树很相似呢?因为与红黑树一样，一棵含n个结点的B树的高度也为O（lgn），但可能比一棵红黑树的高度小许多，应为它的分支因子比较大。所以，B树可以在O（logn）时间内，实现各种如插入（insert），删除（delete）等动态集合操作。

如下图所示，即是一棵B树，一棵关键字为英语中辅音字母的B树，现在要从树种查找字母R（包含n[x]个关键字的内结点x，x有n[x]+1]个子女（也就是说，一个内结点x若含有n[x]个关键字，那么x将含有n[x]+1个子女）。所有的叶结点都处于相同的深度，带阴影的结点为查找字母R时要检查的结点）：

2.B树定义

（1）用阶定义的B树

B 树又叫平衡多路查找树。一棵m阶的B 树 (注：切勿简单的认为一棵m阶的B树是m叉树，虽然存在四叉树，八叉树等空间划分树，但与B树完全不等同)的特性如下：

1. 树中每个结点最多含有m个孩子（m>=2）；
2. 除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有[ceil(m / 2)]个孩子（其中ceil(x)是一个取上限的函数）；
3. 若根结点不是叶子结点，则至少有2个孩子（特殊情况：没有孩子的根结点，即根结点为叶子结点，整棵树只有一个根节点）；
4. 所有叶子结点都出现在同一层，叶子结点不包含任何关键字信息(可以看做是外部接点或查询失败的接点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针都为null)；
5. 每个非终端结点中包含有n个关键字信息： (n，P0，K1，P1，K2，P2，......，Kn，Pn)。其中：
          a)   Ki (i=1...n)为关键字，且关键字按顺序升序排序K(i-1)< Ki。
          b)   Pi为指向子树根的接点，且指针P(i-1)指向子树种所有结点的关键字均小于Ki，但都大于K(i-1)。 
          c)   关键字的个数n必须满足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。如下图所示：

（2）用度定义的B树

B树中每一个结点能包含的关键字（如之前上面的D H和Q T X）数有一个上界和下界。这个下界可以用一个称作B树的最小度数（算法导论中文版上译作度数，最小度数即内节点中节点最小孩子数目）m（m>=2）表示。

• 每个非根的内结点至少有m个子女，每个非根的结点必须至少含有m-1个关键字，如果树是非空的，则根结点至少包含一个关键字；
• 每个结点可包含至多2m-1个关键字。所以一个内结点至多可有2m个子女。如果一个结点恰好有2m-1个关键字，我们就说这个结点是满的（而稍后介绍的B*树作为B树的一种常用变形，B*树中要求每个内结点至少为2/3满，而不是像这里的B树所要求的至少半满）；
• 当关键字数m=2（t=2的意思是，m min=2，m可以>=2）时的B树是最简单的 （有很多人会因此误认为B树就是二叉查找树，但二叉查找树就是二叉查找树，B树就是B树，B树是一棵含有m（m>=2）个关键字的平衡多路查找树），此时，每个内结点可能因此而含有2个、3个或4个子女，亦即一棵2-3-4树，然而在实际中，通常采用大得多的t值。

    B树中的每个结点根据实际情况可以包含大量的关键字信息和分支(当然是不能超过磁盘块的大小，根据磁盘驱动(disk drives)的不同，一般块的大小在1k~4k左右)；这样树的深度降低了，这就意味着查找一个元素只要很少结点从外存磁盘中读入内存，很快访问到要查找的数据。如果你看完上面关于B树定义的介绍，思维感觉不够清晰，请继续参阅下文第6小节、B树的插入、删除操作 部分。

3.文件查找具体过程

为了简单，这里用少量数据构造一棵3叉树的形式，实际应用中的B树结点中关键字很多的。上面的图中比如根结点，其中17表示一个磁盘文件的文件名；小红方块表示这个17文件内容在硬盘中的存储位置；p1表示指向17左子树的指针。

假如每个盘块可以正好存放一个B树的结点（正好存放2个文件名）。那么一个BTNODE结点就代表一个盘块，而子树指针就是存放另外一个盘块的地址。

下面，咱们来模拟下查找文件29的过程：

1. 根据根结点指针找到文件目录的根磁盘块1，将其中的信息导入内存。【磁盘 IO 操作 1次】     
2. 此时内存中有两个文件名17、 35 和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现：17<29<35，因此我们找到指针 p2 。
3. 根据 p2 指针，我们定位到磁盘块3，并将其中的信息导入内存。【磁盘 IO 操作 2次】     
4. 此时内存中有两个文件名26， 30 和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现：26<29<30，因此我们找到指针 p2 。
5. 根据 p2 指针，我们定位到磁盘块8，并将其中的信息导入内存。【磁盘 IO 操作 3次】     
6. 此时内存中有两个文件名28， 29 。根据算法我们查找到文件名29，并定位了该文件内存的磁盘地址。

分析上面的过程，发现需要3次磁盘IO操作和3次内存查找操作。关于内存中的文件名查找，由于是一个有序表结构，可以利用折半查找提高效率。至于IO操作是影响整个B树查找效率的决定因素。

当然，如果我们使用平衡二叉树的磁盘存储结构来进行查找，磁盘4次，最多5次，而且文件越多，B树比平衡二叉树所用的磁盘IO操作次数将越少，效率也越高。

4.B树的高度

根据上面的例子我们可以看出，对于辅存做IO读的次数取决于B树的高度。而B树的高度由什么决定的呢？    若B树某一非叶子节点包含N个关键字，则此非叶子节点含有N+1个孩子结点，而所有的叶子结点都在第I层，我们可以得出：

1. 因为根至少有两个孩子，因此第2层至少有两个结点。
2. 除根和叶子外，其它结点至少有┌m/2┐个孩子，
3. 因此在第3层至少有2*┌m/2┐个结点，
4. 在第4层至少有2*(┌m/2┐^2)个结点，
5. 在第 I 层至少有2*(┌m/2┐^(l-2) )个结点，于是有： N+1 ≥ 2*┌m/2┐I-2；
6. 考虑第L层的结点个数为N+1，那么2*(┌m/2┐^(l-2)）≤N+1，也就是L层的最少结点数刚好达到N+1个，即： I≤ log┌m/2┐((N+1)/2 )+2；

　　所以

• 当B树包含N个关键字时，B树的最大高度为l-1（因为计算B树高度时，叶结点所在层不计算在内），即：l - 1 = log┌m/2┐((N+1)/2 )+1。

　　这个B树的高度公式从侧面显示了B树的查找效率是相当高的 。

5.B树的插入删除操作

上面第3小节简单介绍了利用B树这种结构如何访问外存磁盘中的数据的情况，下面咱们通过另外一个实例来对这棵B树的插入（insert）,删除（delete）基本操作进行详细的介绍。

下面咱们以一棵5阶（即树中任一结点至多含有4个关键字，5棵子树）B 树实例进行讲解(如下图所示)：

备注：关键字数（2-4个）针对--非根结点（包括叶子结点在内），孩子数（3-5个）--针对根结点和叶子结点之外的内结点。当然，根结点是必须至少有2个孩子的，不然就成直线型搜索树了。下图中，读者可以看到关键字数2-4个，内结点孩子数3-5个：关键字为大写字母，顺序为字母升序。

5.1插入操作：

（1）OK，下面咱们通过一个实例来逐步讲解下。插入以下字符字母到一棵空的B 树中（非根结点关键字数小了（小于2个）就合并，大了（超过4个）就分裂）：C N G A H E K Q M F W L T Z D P R X Y S，首先，结点空间足够，4个字母插入相同的结点中，如下图：

 

（2）当咱们试着插入H时，结点发现空间不够，以致将其分裂成2个结点，移动中间元素G上移到新的根结点中，在实现过程中，咱们把A和C留在当前结点中，而H和N放置新的其右邻居结点中。如下图：

 

（3）当咱们插入E,K,Q时，不需要任何分裂操作

（4）插入M需要一次分裂，注意M恰好是中间关键字元素，以致向上移到父节点中

 

（5）插入F,W,L,T不需要任何分裂操作

 

（6）插入Z时，最右的叶子结点空间满了，需要进行分裂操作，中间元素T上移到父节点中，注意通过上移中间元素，树最终还是保持平衡，分裂结果的结点存在2个关键字元素。

 

（7）插入D时，导致最左边的叶子结点被分裂，D恰好也是中间元素，上移到父节点中，然后字母P,R,X,Y陆续插入不需要任何分裂操作（别忘了，树中至多5个孩子）。

 

（8）最后，当插入S时，含有N,P,Q,R的结点需要分裂，把中间元素Q上移到父节点中，但是情况来了，父节点中空间已经满了，所以也要进行分裂，将父节点中的中间元素M上移到新形成的根结点中，注意以前在父节点中的第三个指针在修改后包括D和G节点中。这样具体插入操作的完成，下面介绍删除操作，删除操作相对于插入操作要考虑的情况多点。

 

5.2删除操作：

首先查找B树中需删除的元素,如果该元素在B树中存在，则将该元素在其结点中进行删除，如果删除该元素后，首先判断该元素是否有左右孩子结点，如果有，则上移孩子结点中的某相近元素(“左孩子最右边的节点”或“右孩子最左边的节点”)到父节点中，然后是移动之后的情况；如果没有，直接删除后，移动之后的情况。

删除元素，移动相应元素之后，如果某结点中元素数目（即关键字数）小于ceil(m/2)-1，则需要看其某相邻兄弟结点是否丰满（结点中元素个数大于ceil(m/2)-1）（还记得第一节中关于B树的第5个特性中的c点么?： c)除根结点之外的结点（包括叶子结点）的关键字的个数n必须满足： （ceil(m / 2)-1）<= n <= m-1。m表示最多含有m个孩子，n表示关键字数。在本小节中举的一颗B树的示例中，关键字数n满足：2<=n<=4），如果丰满，则向父节点借一个元素来满足条件；如果其相邻兄弟都刚脱贫，即借了之后其结点数目小于ceil(m/2)-1，则该结点与其相邻的某一兄弟结点进行“合并”成一个结点，以此来满足条件。那咱们通过下面实例来详细了解吧。

以上述插入操作构造的一棵5阶B树（树中最多含有m（m=5）个孩子，因此关键字数最小为ceil(m / 2)-1=2。还是这句话，关键字数小了（小于2个）就合并，大了（超过4个）就分裂）为例，依次删除H,T,R,E。

（1）首先删除元素H，当然首先查找H，H在一个叶子结点中，且该叶子结点元素数目3大于最小元素数目ceil(m/2)-1=2，则操作很简单，咱们只需要移动K至原来H的位置，移动L至K的位置（也就是结点中删除元素后面的元素向前移动）

 

（2）下一步，删除T,因为T没有在叶子结点中，而是在中间结点中找到，咱们发现他的继承者W(字母升序的下个元素)，将W上移到T的位置，然后将原包含W的孩子结点中的W进行删除，这里恰好删除W后，该孩子结点中元素个数大于2，无需进行合并操作。

 

（3）下一步删除R，R在叶子结点中,但是该结点中元素数目为2，删除导致只有1个元素，已经小于最小元素数目ceil(5/2)-1=2,而由前面我们已经知道：如果其某个相邻兄弟结点中比较丰满（元素个数大于ceil(5/2)-1=2），则可以向父结点借一个元素，然后将最丰满的相邻兄弟结点中上移最后或最前一个元素到父节点中（有没有看到红黑树中左旋操作的影子?），在这个实例中，右相邻兄弟结点中比较丰满（3个元素大于2），所以先向父节点借一个元素W下移到该叶子结点中，代替原来S的位置，S前移；然后X在相邻右兄弟结点中上移到父结点中，最后在相邻右兄弟结点中删除X，后面元素前移。

 

（4）最后一步删除E， 删除后会导致很多问题，因为E所在的结点数目刚好达标，刚好满足最小元素个数（ceil(5/2)-1=2）,而相邻的兄弟结点也是同样的情况，删除一个元素都不能满足条件，所以需要该节点与某相邻兄弟结点进行合并操作；首先移动父结点中的元素（该元素在两个需要合并的两个结点元素之间）下移到其子结点中，然后将这两个结点进行合并成一个结点。所以在该实例中，咱们首先将父节点中的元素D下移到已经删除E而只有F的结点中，然后将含有D和F的结点和含有A,C的相邻兄弟结点进行合并成一个结点。

 

（5）也许你认为这样删除操作已经结束了，其实不然，在看看上图，对于这种特殊情况，你立即会发现父节点只包含一个元素G，没达标（因为非根节点包括叶子结点的关键字数n必须满足于2=），这是不能够接受的。如果这个问题结点的相邻兄弟比较丰满，则可以向父结点借一个元素。假设这时右兄弟结点（含有Q,X）有一个以上的元素（Q右边还有元素），然后咱们将M下移到元素很少的子结点中，将Q上移到M的位置，这时，Q的左子树将变成M的右子树，也就是含有N，P结点被依附在M的右指针上。所以在这个实例中，咱们没有办法去借一个元素，只能与兄弟结点进行合并成一个结点，而根结点中的唯一元素M下移到子结点，这样，树的高度减少一层。

 

为了进一步详细讨论删除的情况，再举另外一个实例：

这里是一棵不同的5序B树，那咱们试着删除C

 

于是将删除元素C的右子结点中的D元素上移到C的位置，但是出现上移元素后，只有一个元素的结点的情况。

又因为含有E的结点，其相邻兄弟结点才刚脱贫（最少元素个数为2），不可能向父节点借元素，所以只能进行合并操作，于是这里将含有A,B的左兄弟结点和含有E的结点进行合并成一个结点。

 

这样又出现只含有一个元素F结点的情况，这时，其相邻的兄弟结点是丰满的（元素个数为3>最小元素个数2），这样就可以想父结点借元素了，把父结点中的J下移到该结点中，相应的如果结点中J后有元素则前移，然后相邻兄弟结点中的第一个元素（或者最后一个元素）上移到父节点中，后面的元素（或者前面的元素）前移（或者后移）；注意含有K，L的结点以前依附在M的左边，现在变为依附在J的右边。这样每个结点都满足B树结构性质。

 

从以上操作可看出：除根结点之外的结点（包括叶子结点）的关键字的个数n满足：（ceil(m / 2)-1）<= n <= m-1，即2<=n<=4。这也佐证了咱们之前的观点。删除操作完。

B+树：

是应文件系统所需而产生的一种B树的变形树。

一棵m阶的B+树和m阶的B树的异同点在于：

      1.有n棵子树的结点中含有n-1 个关键字；

      2.所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大的顺序链接。 (而B 树的叶子节点并没有包括全部需要查找的信息)

      3.所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大（或最小）关键字。 (而B 树的非终节点也包含需要查找的有效信息)

为什么说B+树比B 树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引？

1) B⁺-tree的磁盘读写代价更低

B+树的内部结点并没有指向关键字具体信息的指针。因此其内部结点相对B 树更小。如果把所有同一内部结点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多。一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多。相对来说IO读写次数也就降低了。

    举个例子，假设磁盘中的一个盘块容纳16bytes，而一个关键字2bytes，一个关键字具体信息指针2bytes。一棵9阶B-tree(一个结点最多8个关键字)的内部结点需要2个盘快。而B⁺ 树内部结点只需要1个盘快。当需要把内部结点读入内存中的时候，B 树就比B⁺ 树多一次盘块查找时间(在磁盘中就是盘片旋转的时间)。

2) B⁺-tree的查询效率更加稳定

由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。

数据库索引采用B+树的主要原因是 B树在提高了磁盘IO性能的同时并没有解决元素遍历的效率低下的问题。正是为了解决这个问题，B+树应运而生。B+树只要遍历叶子节点就可以实现整棵树的遍历。而且在数据库中基于范围的查询是非常频繁的，而B树不支持这样的操作（或者说效率太低）。

B*树：

B*-tree是B⁺-tree的变体，在B⁺树的基础上(所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针)，B*树中非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）。给出了一个简单实例，如下图所示：

 

B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针。

B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针。

所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；

总结

通过以上介绍，大致将B树，B+树，B*树总结如下：

B树：有序数组+平衡多叉树；

B+树：有序数组链表+平衡多叉树；

B*树：一棵丰满的B+树。

    在大规模数据存储的文件系统中，B~tree系列数据结构，起着很重要的作用，对于存储不同的数据，节点相关的信息也是有所不同，这里根据自己的理解，画的一个查找以职工号为关键字，职工号为38的记录的简单示意图。(这里假设每个物理块容纳3个索引，磁盘的I/O操作的基本单位是块（block),磁盘访问很费时，采用B+树有效的减少了访问磁盘的次数。）

对于像MySQL，DB2，Oracle等数据库中的索引结构得有较深入的了解才行，建议去找一些B 树相关的开源代码研究。

    B+树还有一个最大的好处，方便扫库，B树必须用中序遍历的方法按序扫库，而B+树直接从叶子结点挨个扫一遍就完了，B+树支持range-query非常方便，而B树不支持。这是数据库选用B+树的最主要原因。

    比如要查 5-10之间的，B+树一把到5这个标记，再一把到10，然后串起来就行了，B树就非常麻烦。B树的好处，就是成功查询特别有利，因为树的高度总体要比B+树矮。不成功的情况下，B树也比B+树稍稍占一点点便宜。

    B树比如你的例子中查，17的话，一把就得到结果了，
有很多基于频率的搜索是选用B树，越频繁query的结点越往根上走，前提是需要对query做统计，而且要对key做一些变化。

    另外B树也好B+树也好，根或者上面几层因为被反复query，所以这几块基本都在内存中，不会出现读磁盘IO，一般已启动的时候，就会主动换入内存。”非常感谢。

    mysql 底层存储是用B+树实现的，知道为什么么。内存中B+树是没有优势的，但是一到磁盘，B+树的威力就出来了。