UWB中TOF测距法的公式推导

UWB中TOF测距法的公式推导

UWB常用测距方法有两种：飞行时间测距法（TOF）和到达时间差法（TDOA）。这里说一下TOF。网上很多地方都给了公式，但是缺了过程推导，这里补上，有像我一样纠结公式是怎么来的同学可以参考。

TOF

飞行时间法（Time of Flight，TOF）是一种双向测距技术，它通过测量UWB信号在基站与标签之间往返的飞行时间来计算距离。根据数学关系，一点到已知点的距离为常数，那么这点一定在以已知点为圆心，以该常数为半径的圆上。有两个已知点，就有两个交点。以三个已知点和距离作三个圆，他们交于同一个点，该点就是标签的位置。

TOF定位方式需要基站和标签往返通信，因此就造成了TOF功耗大大提高，续航时间相对较短.

TOF又分为两种：单边双向测距和双边双向测距。

单边双向测距

单边双向测距(Single-sided Two-way Ranging: SS-TWR)是对单个往返消息时间上的简单测量，设备A主动发送数据到设备B，设备B返回数据响应设备A。如下图所示：

单边双向测距的流程是这样的：设备A（Device A）主动发送（TX）数据，同时记录发送时间戳，设备B（Device B）接收到之后记录接收时间戳；延时 $T_{reply}$ 之后，设备B发送数据，同时记录发送时间戳，设备A接收数据，同时记录接收时间戳。

所以可以拿到两个时间差数据，设备A的时间差 $T_{round}$ 和设备B的时间差 $T_{reply}$ ，最终得到无线信号的飞行时间 $T_{prop}$ 如下：
$$T_{prop}=\frac{1}{2}(T_{round}-T_{reply})$$

两个差值时间都是基于本地的时钟计算得到的，本地时钟误差可以抵消，但是不同设备之间会存在微小的时钟偏移，假设设备A和B的时钟偏移分别为 $e_A$ 和 $e_B$，则飞行时间测量值为：
$${\hat{T}}_{prop}=\frac{1}{2}[T_{round}(1+e_A)-T_{reply}(1+e_B)]$$
于是测距误差如下：
$$Error={\hat{T}}_{prop}-T_{prop}=\frac{1}{2}(T_{round}\cdot e_A-T_{reply}\cdot e_B)=\frac{1}{2}{T}_{reply}(e_A-e_B)+T_{prop}\cdot e_A$$
因为 $T_{reply}>>T_{prop}$, 所以可以忽略后一项，得到
$$Error={\hat{T}}_{prop}-T_{prop}\approx \frac{1}{2}{T}_{reply}(e_A-e_B)$$
由此可以看出，随着 $T_{reply}$ 和时钟偏移的增加，会增加飞行时间的误差，从而使得测距不准确。因此单边双向测距（SS-TWR）并不常用，但对于特定的应用，如果对于精度要求不是很高，但是需要更短的测距时间可以采用。注意 $T_{reply}$ 不仅仅是设备B接收到发送的时间，也包括装载数据和发送数据耗费的时间（UWB除了支持定位之外，也可以传输数据，标准可以装载128字节，扩展模式可以装载1024字节数据）。

双边双向测距

双边双向测距（Double-sided Two-way Ranging）是单边双向测距的一种扩展测距方法，记录了两个往返的时间戳，最后得到飞行时间，虽然增加了响应的时间，但会降低测距误差。

双边双向测距分为两次测距，设备A主动发起第一次测距消息，设备B响应，当设备A收到数据之后，再返回数据，最终可以得到如下四个时间差：$T_{round1}$、$T_{reply1}$、$T_{round2}$、$T_{reply2}$，如下图所示：

双边双向测距飞行时间计算方法：
由单边双向测距方法可得
$$T_{prop}=\frac{1}{2}(T_{round1}-T_{reply1})$$
$$T_{prop}=\frac{1}{2}(T_{round2}-T_{reply2})$$
所以
$$\begin{gathered} T_{round1}\times T_{round2}=(2T_{prop}+T_{reply1})(2T_{prop}+T_{reply2}) \\ =4T_{prop}^2+2T_{prop}(T_{reply1}+T_{reply2})+T_{reply1}{T}_{reply2} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} T_{round1}\times T_{round2}-T_{reply1}{T}_{reply2}=4T_{prop}^2+2T_{prop}(T_{reply1}+T_{reply2}) \\ =T_{prop}(4T_{prop}+2T_{reply1}+2T_{reply2}) \\ =T_{prop}(T_{round1}+T_{round2}+T_{reply1}+T_{reply2}) \end{gathered}$$
于是可以得到如下计算 $T_{prop}$ 的公式：
$$T_{prop}=\frac{T_{round1}\times T_{round2}-T_{reply1}\times T_{reply2}}{T_{round1}+T_{round2}+T_{reply1}+T_{reply2}}$$

以上测距的机制是非对称的测距方法，因为他们对于响应时间不要求是相同的。下面分析双边双向测距飞行时间的误差：
$$\begin{gathered} {\hat{T}}_{prop}=\frac{T_{round1}(1+e_A)\times T_{round2}(1+e_B)-T_{reply1}(1+e_B)\times T_{reply2}(1+e_A)}{T_{round1}(1+e_A)+T_{round2}(1+e_B)+T_{reply1}(1+e_B)+T_{reply2}(1+e_A)} \\ =\frac{(4T_{prop}^2+2T_{prop}(T_{reply1}+T_{reply2}))(1+e_A)(1+e_B)}{4T_{prop}+2(T_{reply1}+T_{reply2})+(2T_{prop}+T_{reply1}+T_{reply2})(e_A+e_B)} \\ =\frac{2(1+e_A)(1+e_B)}{(1+e_A)+(1+e_B)}{T}_{prop} \end{gathered}$$
于是
$$T_{prop}=\frac{(1+e_A)+(1+e_B)}{2(1+e_A)(1+e_B)}{\hat{T}}_{prop}$$
$$\begin{gathered} Error={\hat{T}}_{prop}-T_{prop}=\left(1-\frac{(1+e_A)+(1+e_B)}{2(1+e_A)(1+e_B)}\right){\hat{T}}_{prop} \\ =\frac{e_A+e_B+2e_A{e}_B}{2(1+e_A)(1+e_B)}{\hat{T}}_{prop} \end{gathered}$$
因为 $e_A<<1$，$e_B<<1$，略去高次项，可得
$$Error\approx \frac{e_A+e_B}{2}{\hat{T}}_{prop}$$

由此可以看出，误差仅与钟漂和飞行时间有关。

假设一个使用场景：使用20ppm的晶体，UWB的工作距离范围为300m，则无线信号空中飞行时间大概为1$\mu s$，误差为
$20\times 10^{-6}\times 1\times 10^{-6}=20\times 10^{-12}=20ps$，时钟误差是在ps级别的，换算为距离之后仅为6mm。

注意：响应时间是不需要相等的，也就是 $T_{reply1}$ 不一定要等于 $T_{reply2}$，这样对于MCU系统的处理带来了很多便利。

若双边双向测距方法响应时间对称，也就是 $T_{reply1}$ 和 $T_{reply2}$ 相等，飞行时间计算方法如下：
$$T_{prop}=\frac{1}{4}(T_{round1}-T_{reply1}+T_{round2}-T_{reply2})$$
这种方法比较简单，只是需要一些时间戳做加减法，但其难点在于，怎么保证 $T_{reply1}$ 和 $T_{reply2}$ 是相等的。

此种方法的误差分析如下：
$${\hat{T}}_{prop}=\frac{1}{4}\left[T_{round1}(1+e_A)-T_{reply1}(1+e_B)+T_{round2}(1+e_B)-T_{reply2}(1+e_A)\right]$$
$$\begin{gathered} Error={\hat{T}}_{prop}-T_{prop}=\frac{1}{4}\left[(T_{round1}-T_{reply2})e_A+(T_{round2}-T_{reply1})e_B\right] \\ =\frac{1}{4}\left[2(e_A+e_B)T_{prop}+(e_A-e_B)(T_{reply1}-T_{reply2})\right] \end{gathered}$$
因为 $T_{reply1}-T_{reply2}>>T_{prop}$，可忽略 $T_{prop}$ 项，从而得到
$$Error\approx \frac{1}{4}(e_A-e_B)(T_{reply1}-T_{reply2})$$
可见此误差与响应时间差成正比。