祖冲之是如何计算圆周率的（二）

上一回说到祖冲之给出了圆周率的范围
3.1415926~3.1415927

但他还给出了一个约率 22/7和一个密率 355/113。

这个约率也许比较平常，很多人都给出过，22/7，阿基米德也喜欢。

关键是这个密率，是怎样得到的呢？是否如现代人，用连分数？还是有其它方法？
我考证的结果是，用调日法，得到的。

这要从何承天说起。古代数学家，一般还要兼职天文观测、历法制定的工作。何承天就发明了一种调日法，可以得到很精确的分数。祖冲之研究过何承天的历法，因此，有很大的可能性使用调日法，来生成十进制小数的近似分数。

调日法是怎样的呢？一般的，小学生刚学分数加法的时候，容易犯一种错误，就是把分子和分子直接相加，分母和分母直接相加。我们知道，这样做结果不对。但是，从来也没有考察过，这个不对的结果有什么特点。

调日法

也就是说，那个“不正确”的结果会正好插入两者之间，比小的大一些，比大的小一些。
每次获得一个新的数值，就同已有的范围比较，然后决定如何向下调节。

逐步调日法

继续

接近结果

要注意的是，祖冲之给出的约率22/7和密率355/113都比圆周率大。
而盈朒二数3.1415926和3.1415927才是夹住圆周率的范围。
当然，也可以用
运算过程中出现的333/106和355/113两个分数夹住。

分数范围