热的解析理论



约瑟夫·傅立叶 著，桂质亮 译：热的解析理论（Analytical theory of heat）
http://book.chaoxing.com/ebook/detail.jhtml?id=10072448&page=1
据剑桥1878年亚历山大·弗里曼英译本译出
本书是傅立叶的代表作，集中反映了他在数学和物理方面所作的重要贡献。
发现导热基本规律——傅里叶定律（Fourier's Law）：dQ=-λdAδt/δn，q=-λgradt，系统中任一点的热流密度与该点温度梯度成正比而方向相反。
式中
dQ——热传导速率，W或J/s
dA——导热面积，m^2
δt/δn——温度梯度，℃/m或K/m
λ——导热系数，W/(m·℃)或W/(m·K)
负号表示传热方向与温度梯度方向相反
用热通量来表示q=dQ/dA=-λδt/δn
对一维稳态热传导dQ=-λdAdt/dx
λ表征材料导热性能的物性参数
λ越大，导热性能越好
注：傅里叶定律只使用于各向同性材料
各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
导热系数λ在数值上等于单位温度梯度下的热通量。
导热系数λ是分子围观运动的宏观表现，反映了物质微观粒子传递热量的特性。
各种物质的导热系数
λ_金属固体>λ_非金属固体>λ_液体>λ_气体
λ_固相>λ_液相>λ_气相
0℃时：λ_冰=2.22w/m·℃
λ_水=0.551w/m·℃
λ_冰=0.0183w/m·℃
汉译者
前言（节选）
琼·博普蒂斯特·约瑟夫·傅立叶（Jean Baptiste Joseph Fourier，1768.3.21-1830.5.16）是19世纪法国数学家和数学物理学家。他的工作对数学和物理学产生了很大影响。在数学上，他迈出了19世纪第一大步，而且是真正极为重要的一步；在物理学方面，他的理论和方法几乎渗透到近代物理学的所有部门，支配了整个数学物理学。开尔文勋爵威廉·汤姆森（William Thomson，1824-1907）自称傅里叶关于热的工作影响了他在数学物理学方面的全部经历。
数学史家拉维茨（J.R.Ravets）和格拉顿-吉尼斯（I.Grattan-Guinness）：“由于人们仅仅只注意傅里叶级数和傅里叶积分这两个结果，并在评价它们的推导时使用了不合时代的严格性标准，所以长期把傅里叶的主要成就史给搞混了。我们最好把傅里叶的主要成就理解为这样两个方面：第一，把物理问题的公式化表示当作线性偏微分方程的边值问题来处理，这种处理（连同他在单位和量纲方面的工作）使理论力学扩展到牛顿《原理》所规定的范围以外的领域；第二，他为这些方程的解所发明的强有力的数学工具，这些工具产生了一系列派生物，并且提出了数学分析中那些激发了19世纪及其以后的许多第一流工作的问题”。
麦克斯韦（Clerk Maxwell，1831-1879）称赞这本书是“一首伟大的数学诗”。原书于1822年以法文出版。汉译本根据亚历山大·弗里曼（Alexander Freeman）的英译本译出。弗里曼在英译本中加入了一些脚注和章节末注，并以脚注形式收入英国学者罗伯特·莱斯利·埃利斯（Robert Leslie Ellis）在研读这部著作时所作的页边注。这些我们都仍按英译本形式译出，并以注者姓名的首字母区别。
桂质亮
1992年12月
于武昌桂子山
绪论（节选）
我们在1807年底提交给法兰西研究院的一个手稿首次阐明了这一理论，这篇手稿的一个摘要发表在《科学通报》[科学普及协会，1808年，第112页]上。我们对这份研究报告作了增补，并陆续提交了非常广泛的注记，它们涉及到级数的收敛，无穷棱柱中的热扩散，它们在真空中的辐射，适合于解释主要定理的作图，以及对地球表面周期性运动的分析等等。我们的第二份研究报告，论热传导，于1811年9月28日存于研究院的档案里，它由以前的那份研究报告和已经提交的注记所组成；其中删去了几何作图和那些与物理问题没有必然联系的分析细节，增加了表示表面状态的一般方程。这后一成果在1821年间送去印刷，它刊登在科学院的集子里。付印时未作任何改动和增补；版本与送存的手稿完全一致，它成为研究院这些档案的一部分。
贾随军：傅立叶级数理论的起源 http://www.docin.com/p-133255301.html
引言
一、选题背景与意义
傅立叶级数的产生是数学发展史上的重大事件，霍华德·伊夫斯（Howard eves）在《数学上的里程碑》（1650年之后）一书中的第25讲就提到了傅里叶级数。
傅立叶级数的历史可以追溯到17世纪伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）、梅森（Marin Mersenne，1588-1648）、沃利斯（John Wallis，1616-1703）、让·菲利普·拉摩（Jean-Philippe Rameau，1683-1764）等人对物体振动及和声学的研究。他们的研究确定了影响弦振动频率的因素，提出了声波的量化理论。但他们没有给出弦振动的形状。
弦振动是达朗贝尔于1747年建立的，他还得到了表达这个方程通解的公式。欧拉得出弦振动方程柯西问题解的公式，这个公式今天称为达朗贝尔公式。D.贝努利断言：弦振动方程的任何解均可表示为三角级数。欧拉同达朗贝尔、D.贝努利关于弦振动方程解的性质的争论，对数学物理、分析学，特别是三角级数理论的发展具有重要意义。
这个争论隐含着一个关键性的问题：一个任意函数能否用三角函数的和来表示？傅立叶在热传导问题的研究中为了求解偏微分方程而创建了傅立叶级数，傅立叶级数的理论表明任何一个函数都可以用三角级数的和来表示，从而为弦振动的争论画上了圆满的句号。
傅立叶的工作是不严密的，他没有彻底地解决三角级数收敛性问题。在傅立叶热传导理论的影响下，狄利克雷于1829年在克雷尔杂志发表了他最著名的一篇文章《关于三角级数的收敛性》，讨论了傅立叶级数的收敛性，给出了f(x)的傅立叶级数收敛于f(x)本身的充分条件。黎曼在研究狄利克雷论文的基础上，在他的就职论文《论函数通过三角级数的可表示性》一文中给出了f(x)的傅立叶级数收敛于f(x)本身的充分且必要条件。至此，傅立叶级数的收敛问题得以解决，傅立叶级数理论基本建立起来。
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傅里叶关于“每一函数，无论怎样复杂，总可以表示为三角级数的形式。”这一概念堪称“数学史上最大胆、最辉煌的概念”。
美国数学史家克莱因认为：“傅里叶的工作是19世纪的第一大步，并且是真正极为重要的一步。”
1807年，傅里叶开始热传导的数学研究工作，此项目1812年荣获巴黎科学院的格兰德（Grand）奖。他1822年出版的名著《热的分析理论》，是一本将数学理论应用于物理学的典范。在此书中他把半个世纪前欧拉和贝努利在关于弦振动的研究工作中，曾就一些孤立的、特殊的情况所采用的三角级数方法，作了加工处理，最后发展成为一般理论。
他杰出的贡献就在于阐述并例举了相当一类函数（连续的或不连续的）能用形如∑[n=0->∞](A_ncosnx+B_nsinnx)的三角级数来表示，但没有给出明确的条件和完整的证明。
傅里叶的工作标志着人们能够而且应该从解析函数或可展成泰勒级数的函数的圈子里解拓出来，从而大大地扩充了函数概念的本身。
现在数学中用变量的对应方式来定义函数的方法就是狄利克雷1837年研究了傅里叶级数理论后提出的。此外，许多数学家还用傅里叶级数构造一些特殊函数，例如，处处连续而处处不可微的函数。
由此不难理解，某些函数不仅可以展成为三角级数，而且还可以就其它各种不同的正交函数系（如切比雪夫多项式、勒让德多项式、埃尔米特多项式、拉盖尔多项式、雅可比多项式等等）展成为级数，此即广义的傅里叶级数理论。傅里叶级数还对积分概念产生了重要影响，它重申和强调定积分可作为和式的极限来定义，致使黎曼于1854年在用三角级数表示函数的文章中第一次阐述了目前教科书中通用的积分定义。此外，傅里叶级数对一致收敛性概念、无穷行列式、康托尔的集合论的建立和发展都起到了促进作用。----一个很有意思的现象，傅里叶级数构造的函数提供了数学分析、实分析、泛函分析的典型学习素材，泰勒级数或解析函数、椭圆积分和椭圆函数提供了复分析的典型学习素材
傅里叶在1811年首先给出了级数收敛及级数和的正确定义，并指出了拉格朗日的一个错误，通项趋近于零并非级数收敛的充要条件，而仅是必要条件。
傅里叶还写过一本《方程测定分析》（1831年），其中包括他16岁时对笛卡尔符号法则的改进证法和在此基础上得到的给定范围内n次代数方程实根个数的判别法。
在雅各宾党执政的的“恐怖时期”，他出面保护过一些无辜受害的科学家，如斯图姆（Sturm）等。当他发现法国科学院埋没了阿贝尔这个天才后，立刻公开表示内疚，并把科学院大奖发给了阿贝尔。
傅里叶对数学发表了言简意赅的见解：“对自然界的深入研究是数学发现的最丰富的源泉。” “数学的主要目标是大众的利益和对自然现象的解释。”
《傅里叶著作集》共2卷，1888-1890年在巴黎出版。
19世纪20年代，在巴黎的德国青年狄利克雷（1805-1859）参加傅里叶领导的学习小组，他在研究了傅里叶级数之后，于1829年发表了《关于三角级数收敛性》的论文，提出了傅里叶级数收敛于函数f(x)的充分条件。这一补充，使傅里叶级数的理论具有合理性。由于求三角级数的各个系数要用到积分，狄利克雷打算推广积分的概念，使更广泛的一类函数仍可表达为收敛于该函数的级数。为此，他还构造了一个例外的函数：在有理点上取值为c，在无理点上取值为d的函数，这极大地深化了人们对函数概念的认识。
狄利克雷的学生黎曼（1826-1866）在这方面的工作比较突出，他也研究了傅里叶级数，并于1854年把积分推广到在区间[a,b]上有定义且有界的函数f(x)上去，他的积分理论使古典分析得到完善。
到19世纪70年代，随着魏尔斯特拉斯（1815.10.31-1897.2.19）等人工作的深入，构造了各种具有无穷多个间断点、而在黎曼意义下仍为可积的函数。魏尔斯特拉斯还给出了处处不可微的连续函数的例子。此后又由于康托尔（1845-1918）建立了集合论，使实际构造和研究种种复杂的“病态函数”成为可能，从而形成了对古典分析批判的思潮。
研究函数的不连续点多到怎样的程度，便是不可积的，这需要涉及点集的度量或广延它的“长度”问题。约当（1838-1922）引进了内容量和外容量的概念，当网格不断细分，内容量和外容量彼此无限接近，它们共同的极限值称为皮亚诺-约当容量。 约当容量奠定了进一步推广积分概念和方法的基础。
积分理论在20世纪初得到最有意义的推广，它是由法国南希一所公立中学任教的青年勒贝格（1875.6.28-1941.7.26）于1902年完成的。
勒贝格研究了广义的容量，他指出：存在这样的点集，它没有容量可言，但却有测度。后来，被人们称之为“勒贝格测度”。在积分学中，用勒贝格测度代替容量就成为“勒贝格积分”，它是黎曼积分的扩充，正如勒贝格测度是皮亚诺-约当容量的扩充一样。
勒贝格积分的诞生比黎曼积分晚了半个世纪，黎曼积分属于古典范围。20世纪30年代建立的概率论公理化体系，就是以测度论和实变函数论为基础的。
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二、文献综述
研究傅立叶级数的相关文献可分为四大类：研究弦振动问题的文献；研究《热的解析理论》的形成、发展与成熟的文献；研究《热的解析理论》或傅立叶级数影响的文献；比较宏观地研究傅立叶的生平及其成就的文献。
研究弦振动问题的文献主要有：《达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利对于弦振动及其偏微分方程的研究》、《达朗贝尔：论弦振动方程》、《泰勒和约翰·伯努利关于弦振动的研究》、欧拉全集中有关弦振动的内容、《调和分析的声学起源》。
研究《热的解析理论》的形成、发展与成熟的文献相对较多。其中《傅里叶级数与积分》、《热的解析理论》（英文版）、《热的解析理论》（1993年版）、《热的解析理论》（2008年版）为原始文献。1993年汉译版本是根据亚历山大·弗里曼的《热的解析理论》（英文版）译出的，由于英译版本身一些小的错误，所以1993年版中有错误是难免的。2008年版是在1993年版的基础上对照加斯东·达布
（M.Gaston Darboux）编辑的法文版《傅立叶文集》翻译过来的，2008年版纠正了1993年版中的一些小错误。这些原始文献是笔者研究傅立叶级数起源的重要素材。如果没有这些原始文献的支撑，本研究将无法展开。
研究《热的解析理论》或傅立叶级数影响的文献主要分为两大类：其中一部分专门讨论傅立叶级数的影响，如《傅立叶级数及其对数学分析发展的影响》、《康托集合论的三角学背景》、《傅立叶级数对数学发展的影响》、《三角级数的唯一性与描述性集合论》；还有一部分讨论了傅立叶《热的解析理论》的影响。这些文献为笔者研究傅立叶级数的影响提供了方向——对理论物理以及数学物理产生的影响；对纯粹数学与应用数学产生的影响。
比较宏观地研究傅立叶的生平及其工作的文献主要有：《作为普通人和物理学家的傅立叶》、《傅立叶》、《傅立叶的生活与工作》、《傅立叶传记》、《傅立叶与19世纪早期法国数学物理学》、《傅立叶——一位受人敬重的科学家》。
第三章 傅立叶级数理论建立的背景
3.1.2拿破仑时期法国实验物理大变革的影响
在19世纪的前10年，实验物理学经历了一个转变。拉普拉斯、贝托莱及他们俩在阿尔克伊学社的学生们努力把一门定性说明的科学转变为一门严格的被数学化了的科学。这种转变扎根于18世纪80年代，在1810年左右达到高潮，但是关键时期是1800-1810，在此期间，阿尔克伊学社自觉地把实验物理学的数学化作为他们的任务。
但是18世纪，人们对热、磁、电等现象的研究基本上还是定性的，然而到了18世纪末，采用定量的数学方法去研究这些现象的态势已初见端倪。
特别地，有两件事预示着试验物理科学数学化与量化时代的到来。首先，在1783年，拉普拉斯和拉瓦锡完成了著名的论文《论热》。
《论热》是数学家与物理学家聚集在一起的标志，也是19世纪热学走向量化科学的开端。
其次，库仑对电磁学进行了量化研究。 
库仑关于电和磁的七篇论文是多年依赖一系列物理研究中最著名的成果。
在有关扭转工作之后，库仑进行了电磁学的研究。 在1785年第一篇关于电磁学的论文中，他针对诸如电荷等物体之间排斥力的情形“呈现了采用扭秤进行电学研究的细节，并论证了力的平方反比定律”。
拉瓦锡和拉普拉斯关于热的工作以及库仑关于电磁的工作并不是18世纪80年代实验物理数学化进程中仅有的例子。在此期间还有其他一些实例，阿雨（1743-1822）研究了结晶学与双折射，蒙日研究了表面张力现象。此外，约瑟夫·路易·盖-吕萨克（1778-1850）、让·巴蒂斯特·毕奥、泊松、马吕斯等人也为实验物理学数学化进程做出了重大贡献。